湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编-导数及其应用(4)

又f(x)在区间(1,??)上只有一个极小值点记为x1，

且x?(1,x1)时，f?(x)?0，函数f(x)单调递减，x?(x1,??)时，f?(x)?0，函数f(x)单调递增，

由题意可知：x1即为x0． ??????????９分

?22?f(x0)?03?x0??alnx0?0∴?，∴?消去可得：， 2lnx?1?x003x0?13?f?(x0)?0?2x?ax?2?000?即2lnx0?(1?3)?0 3x0?13(x?1)，则t(x)在区间(1,??)上单调递增 3x?133731?2?0.6973?1??2??1????0 又∵t(2)?2ln2?1?37107352?133323t(3)?2ln3?1?3?2?1.099?1??2?1?1???0

2626263?1令t(x)?2lnx?1?由零点存在性定理知 t(2)?0,t(3)?0

∴2?x0?3 ∴[x0]?2 ． ??????１２分 10、解：（1） 当x<-3时，

??????????1分

, 当-3

,当x>0时，

??3分

所以函数f(x)在（-∞，-3）上为单调递减函数,在（－3，0）上为单调递增函数

在（0，+∞）上为单调递减函数??????????4分

因此函数f(x)在x=0处有极大值f(0)=5 ??????????5分 （2）由（1）得函数f(x)在（-∞，-3）上为单调递减函数，在（－3，0）上为单调 递增函数所以函数f(x)在x=-3处有最小值f(-3)=

?????????7分

（3）??????????9分

由（2）得函数f(x)在区间（-∞，0]上有最小值当x>0时，f(x)>0 ??????????11分 所以函数f(x)在定义域中的最小值为

,所以

??????????10分

即a的取值范围为（-∞, ] ??????????12分

11、解: (1)f(x)?ex?ax?1,f?(x)?ex?a

①当a?0时,f?(x)?0(不恒为0),f(x)在R上单调递增,又f(0)?0,所以当x?(??,0),f(x)?0,不合题意,舍去;

②当a?0时,x?(??,lna),f?(x)?0,f(x)单调递减, x?(lna,??),f?(x)?0,f(x)单调递增,f(x)min?f(lna)?a?alna?1,则需a?alna?1?0恒成立.

令g(a)?a?alna?1,g?(a)??lna,当a?(0,1)时,g?(a)?0,g(a)单调递增, 当

a?(1,??)时,g?(a)?0,g(a)单调递减,而g(1)?0,所以a?alna?1?0恒成立.所以a的取值

1. ??????????????????????7分 集合为??(2)由(1)可得ex?x?1?0(x?0),x?ln(x?1)(x?0),令x?

1

,则 n

11n?1?ln(?1)?ln?ln(n?1)?lnn,所以 nnn1111??????(ln2?ln1)?(ln3?ln2)???(ln(n?1)?lnn)?ln(n?1)(n?N?)

23n??????????????????????????????12分

2x32x12、.解：（Ⅰ）当a?0,b??3时，f?x??x?x?3?e?x?3xe，

??f??x???3x2?6x?ex?ex?x3?3x2??exx3?6x?xexx?6当x???,?增；

当x?0,6时，f??x???，f?x?单调递减；当x?故函数f?x?的单调递增区间为?6,0,???6?时，f??x???，f?x?单调递减；当x???????x?6?

6,0?时，f??x??0，f?x?单调递???6,??时，f??x??0，f?x?单调递增.

???6,??，单调递减区间为??,?6,0,6.

?????2x（Ⅱ）（ⅰ）当a?0时，f?x??x?x?b?e，

xxx2f??x??2x?x?b?ex?x2??e?e?x?b????xe??x??3?b?x?2b??，

令g?x??x??3?b?x?2b，

2???b?3??8b??b?1??8?0, 故g?x??0有两根?,?，不妨设???，

22

当?与?有一个为零时，x?a?0不是f?x?的极值点，故?与?均不为0； 当????0或????0时，x?a?0是函数f?x?的极小极点，不合题意； 当??????0时，x?a?0是函数f?x?的极大值. ∴????，即?b??，∴b??.?b的取值范围为(??,0). （

ⅱ

）

2f??x??ex?x?a??x???3?a?b?x?2b?ab?a??，令

g1?x??x2??3?a?b?x?2b?ab?a，

???3?a?b??4?2b?ab?a???a?b??2?a?b??1?8??a?b?1??8?0，因此，g1222?a2?b2?2ab?2a?2b?9??x2?，又因为?，不妨设x1?x??0有两根x1?,x2??a?x2?，??a?x2?，所以f?x?的三个极值点分别为x1且x1则x1?,a,x2?是x1,x2,x3x?a为极大值点，

的一个排列，其中x1??a?b?3??a?b?1?22?8??,x2a?b?3??a?b?1?22?8，

??x2???a，即?a?a?3?b也即b??a?3时有：①若x1?,a,x2?或x2?,a,x1?成等差数列即x1??a?x4或 2x1??a?a?b?3???a?x4，所以x4?2x12x2??a?a?b?3?或x4?2x2??a?b?1?2?8?a?a?26，

???a?b?1?2?8?a?a?26；

??,a,x2?不成等差数列，则需：x2??a?2?a?x1??或a?x1??2?x2??a?， ②若x1??a?2?a?x1??时，x4?当x23?a?b?3????a?x2??x2??，于是3a?2x1，

222即???3?a?b?3?，故a?b?3??时，?a?b?1??9?a?b?1??17?0，

a?b?1??9?137?13?b??a?22，此时，

x4??2a????a?x2?2??a???3?b1??a?43，

1a332b??2?x2??a?时， b??a?同理当a?x17?131?13，x4?a?. 22

综上所述：当b??a?3时，x4?a?26；当b??a?7?131?13时，x4?a?； 22当b??a?

7?131?13时，x4?a?. 22

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