幂零矩阵性质及应用(3)

r(A)?r(J)??r(Ji)??(ni?1)??ni?s?n?s?n?1

i?1i?1i?1sss?0???1???B?s?1 即有T?1AT?J????????10?? (1.3)

?0??(?1)n?1?????2? ?(B?)又B??? ?0????????0??由（1.3）式及引理1，知 A??(TBT?1)??(T?1)?B?T?

(A?)2?[(T?1)?B?T?]2?(T?1)?(B?)2T??0 得证

三、 关于幂零矩阵性质的简单应用

（一）、特殊幂零矩阵

（来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社） 1、A为实对称矩阵且A2?0，则有A?0

证明：令A?(aij)n?n，则由A实对称 ?A??A

2 且A?A?A???aij?0

2i?1j?1nn 又aij为实数 ?aij?0i,j?1,2,??,n 即A?0 2、所有n阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都是相似 证明：令A为n阶n次幂零矩阵 即An?0Ak?0(k?n) ?A的最小多项式 mA(?)??n 又A幂零矩阵 ?A的特征值全为0

?A的特征多项式为 f(?)??E?A??n?Dn(?) 由引理9，知 dn(?)?mA(?)??n 又dn(?)?Dn(?)??nDn?1(?)?Dn?1(?)?1

从而有 dn?1(?)????d2(?)?d1(?)?1

所以所有的n阶n次幂零矩阵的不变因子都是 1,1,??,1,?n 所以所有n阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都相似 3、所有n阶n?1次幂零矩阵相似（n?1为幂零指数）

证明：令A为n阶n?1次幂零矩阵， 则An?1?0Ak?0(k?n?1) ?A的最小多项式 mA(?)??n?1 又A幂零矩阵 ?A的特征值全为0

?A的特征多项式为 f(?)??E?A??n?Dn(?) 又dn(?)?Dn(?)??nDn?1(?)?Dn?1(?)??

又f(?)??E?A??n?d1(?)d2(?)???dn(?) 从而有 dn?1(?)??dn?2(?)????d2(?)?d1(?)?1

所以所有n阶n?1次幂零矩阵具有相同不变因子 1,1,??,1,?,?n?1

所以所有n阶n?1次幂零矩阵都相似

思考：所有n阶n?k次幂零矩阵可分为几类（相似归为一类）？？？？

由于矩阵相似等价于它们不变因子相同，所以我们要找所有n阶n?k?0次幂零矩阵可分为几类即可找所有n阶n?k次幂零矩阵不变因子可分几类。又由于n阶幂零矩阵的不变因子都是?m(m?0)，因此只需找k分成n?1份且满足每一份的数小于等于n?k并且这些的和等于k有多少种分法。

猜想：这个问题就是求n个盒子n个球，盒子编号为1,2,?,n，且第一个盒子的

球数为n?k?0个，并且满足第i?1个盒子的球数小于等于第i个盒子的球数，总共有多少种放球的方法（每个盒子的球数为0,1,2,?,n?k中任一数且不同盒子球数可相同）。

我想是否可通过编一个程序来求出具体数据，通过对数据的分析得出n、k与放球方法之间的关系（由于知识有限未能完成这个工作，但作为数学问题这是必要的，希望在经后的学习中能有进一步的认识）。

对这个问题的思考得出以下结论：n阶幂零矩阵A（k为一些特殊的数据）（采用排列组合的思想只是做了一些简单的归纳） A?0：只有一类

A2?0：分为两种情况：当n为偶数时有

n类 2 当n为奇数时有

n?1类 2A3?0：分为两种情况：当n为偶数时又分为三种情况

[?1?(?1)i]?2kn?3i?2 当n?3k时，有?类 2i?1[?1?(?1)i]?2kn?3i?2 当n?3k?1时，有?类 2i?1[?1?(?1)i]?2kn?3i?2?2类 当n?3k?2时，有?2i?1 当n为奇数时又分为三种情况

[??1?(i?11)]n?3i??2k2 当n?3k时，有?类 2i?1[?1?(?1)i?1]?2kn?3i?2当n?3k?1时，有?类 2i?1[?1?(?1)i?1]?2kn?3i?2?2类当n?3k?2时，有?2i?1An?3?0：只有三类 An?2?0：只有两类

（这些结论是我自己归结出来的，本想找相关资料验证但没找到，所以正确与否

不可知，今后若能找到这一部分的内容再做进一步的补充）

An?1?0：只有一类 An?0：只有一类

（二）、有关幂零矩阵的应用

（例题来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社及《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报）

1、设n阶方阵，求证：（1）存在k?Z?，使得 r(Ak)?r(Ak?1)????r(Ak?s)?? （2）存在k?Z?，而且 1?k?n，r(Ak)?r(Ak?1)?? 证明：（1）、由引理3，知 在复数域上，?可逆矩阵T 使得

T?1AT??J1????JtJ???????Jt?1?????????Js?? (1.4)

??i??1 其中Ji????????? 阶数为ni????1?i??i?1,2,??,s

令J1,J2,??,Jt 为?i?0的若当块 i?1,2,??,t

Jt?1,Jt?2,??,Js 为?i?0的若当块 i?t?1,t?2,??,s

?0????1?? 由于Ji?? 由引理8，得

??????10??? (Ji)ni?0 且(Ji)ni?1?0 i?1,2,??,t

?(J)i?0 r?k?maxn1(,n2,??,nt) i?1,2,??,t Ji??inir?0 即Ji可逆 i?t?1,t?2,??,s

(J)ir?0有r(Jir)?r(Ji)?ni i?t?1,t?2,??,s

??r?Z? 由（1.4）式，知A与J相似，且

?J1p????pJt(T?1AT)p?T?1ApT?T?1??????Jt?1p?????T????pJs???p?Z?

从而，得Ap与Jp相似，

综上可得，r(A)?r(J)??r(Ji)?kkki?1si?t?1?r(Jski)?i?t?1?r(Jsk?pi)

且k?max(n1,n2,??,nt) ?p?Z?

即得证 r(Ak)?r(Ak?1)????r(Ak?s)?? （2）、由（1）知，?k?max(n1,n2,??,nt)

使得 r(Ak)?r(Ak?1)????r(Ak?s)?? 又已知 1?ni?n i?1,2,??,t

?1?k?n得证

特别当r(A)?r(A2)时，可得 r(A)?r(A21)?r(A3)?r(A4)? 2、A，B为n阶方阵，B为幂零矩阵且AB?BA，则有A?B?A 证明：由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T，使得

??1?AT????????1???? T?1BT????????n??????

????n?

T?1?2?2 又B为幂零矩阵 所以B的特征值全为0，即

?0???0?? BT???????0?? T?1?1 T?1(A?B)T?TA?T?1TB??1???T?1T????2????????n??? T?1 T(A?B)T??1T?1A?BT??1T?2 T?n

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