代入=1，得=1，
=1．…（10分）
∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为
[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+【解答】解：直线ρcos（θ+
）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．
，
）=1，转化为：
曲线ρ=r（r＞0）转化为：x2+y2=r2， 由于直线和圆相切， 则：圆心到直线的距离d=所以r=1．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值． 【解答】解：由柯西不等式，得[x2+（
2
．
）2][12+（）2]≥（x?1+
）
，
≥（x+y）2．
，所以﹣
，…（5分）
即
而x2+3y2=1，所以（x+y）2
由，得，所以当且仅当x=，y=
时，（x+y）max=．
所以当x+y取最大值时x值为
．…（10分）
25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4． （1）求直线AP与BM所成角的余弦值；
（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．
第21页（共24页）
【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD， 以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）． =（﹣2，0，4），cos＜
，
＞=
=（01，﹣1，2），
=
=
． ．…（5分）
故直线AP与BM所成角的余弦值为（2）
=（﹣2，1，0），
=（﹣1，﹣1，2）．
设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z）， 则
，令x=2，得=（2，4，3）．
=（0，1，0）， =
=
．
．…（10分）
又平面PAC的一个法向量为∴cos＜
＞=
故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为
第22页（共24页）
26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn． （1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想． 【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C在①中令n=1，得f（1）=1．
在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3． 在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10． （2）猜想f（n）=
．
=
?
+2
?
+…+n
?
成立．
C
C
C
①，
要证猜想成立，只要证等式n由（1+x）n=
+
x+
x2+…+
xn①，
+2
x+3
+x2+nx+
xn﹣1②， x2+…+
xn ）?
两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=
把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（（
+2
x+3
x2+n
xn1 ） ③．
﹣
等式左边?=
?++2?2?
xn的系数为++3
?3?
+…+n+…+n
?
n?n
，等式右边
xn的系数为
=CC
CC
C
C
C．
，
根据等式③恒成立，可得n
=C
第23页（共24页）
故f（n）=
成立．
第24页（共24页）
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