第五届高数竞赛经济类试题(2)

得分 评阅人 五、（本题满分7分） 讨论方程xe?x?a有几个实根？（常数a>0）。. 得分 评阅人 六、（本题满分6分） 1ax?sinxx0确定常数a,b使得lim x?0?t2b?3tdt?2。

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得分 评阅人 七、（本题满分7分） x?z?x设z?xf()?2y?()，其中f(u)，?(u)都是二阶可导的函数。⑴求xy?z?x?yx?a2y，?z?x?y2；⑵如果f(u)??(u)，且??by2，试求f(u)。 得分 评阅人 八、（本题满分6分） 计算二重积分I???Dxe2?y2dxdy，其中D是由直线y?x，y?1以及y轴围成的闭区域。

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得分 评阅人 九、（本题满分7分） 若函数f(x),g(x)满足条件：f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)?0，g(0)?0。试求： ⑴f(x)； ⑵由曲线y? 得分 评阅人 f(x)g(x)，(x?0)与直线y?1和x?0所围成的平面图形的面积。 十、（本题满分6分） 设?sinx ,x?0?f(x)??x?1 ,x?0??。⑴将f(x)展开成x的幂级数；⑵问?fn?1(2n)(0)是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

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得分 评阅人 十一、（本题满分6分） 已知f?x?在???,???内连续，f?0???1，且对一切x?0，满足关系式? 10f?xt?dt?f?x??e?2xx，求f?x?。 得分 评阅人 十二、（本题满分7分） 设f(x)，g(x)都在闭区间[a,b]上单增、连续。 证明：(b?a)?f(x)g(x)dx?ab?baf(x)dx?g(x)dx。 ab

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