相似三角形讲义(3)(2)

3、相似三角形的性质与判定的综合运用。

例题3、（2011?益阳）如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2 的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1． （1）证明：△ABE≌△CBD；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比 （不添加辅助线，不找全等的相似三角形）； （3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论； （4）求线段BD的长．

变式1、【情境观察】将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是______，∠CAC′=______。

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【问题探究】如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点， 分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰

Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究 EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

【拓展延伸】如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、 AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交 EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的 数量关系，并说明理由．

变式2、（2011?襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：∠ADP=∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当

AP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由． AB

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变式3、（2011?武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在ABACBC上，且DE∥边长，AQ交DE于点P，求证：

DPPE ?BQQC（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证：MN2=DM?EN．

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【家庭作业】

1．(2009 邵阳)在三形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，延长AM交BC于点G，AD与BE相交于点F，

求证：（1）DE=AD;（2）△BCE∽△ADM；（3）AM⊥BE.

CECDA

EMGCFBDN

2（培优）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. (1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由. (2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

3.（2011培优）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AB的中点，ED的延长线交AC的延长线于F，求证：DF:AD=AF:BD

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BEACDF

4.（七中育才）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AD平分∠CAB交于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于G,AE·AD=16,AB=4

（1）求证:CE=EF；（2）求EG的长.

A

5．（2006德州）如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x?之间的函数关系式还成立，试说明理由．

E F 第6题

G

B

C D 5 .

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