广东省韶关市2019届高三4月第二次调研测试
数学试题（理科）
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:
1Sh，其中S为锥体的底面面积，h为锥体的高. 32. 柱体的体积公式V?Sh，其中S为柱体的底面面积，h为柱体的高.
1.锥体的体积公式V?一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，M?{x|x(x?3)?0},N?{x|x??1}，则右图中阴影表示的集合为（ ）.
A．{x|x??1}
B．{x|?3?x?0}
C． {x|x??3} D．{x|?1?x?0}
部分
2. 若a,b?R，为虚数单位，且(a?i)i?b?5，则a?b?（ ） 2?i13?)? 6A.?2. B.0
C. 1 D. 2
（ ）
3. 已知f(x)?3cos2x?2sinxcosx, 则f(
A.3 B.?3 C.
33 D.? 2285
4.一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为12π＋，则
3正视图与侧视图中x的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
5.已知, 圆x?y??内的曲线y??sinx,x?[??,?]与x轴围成的阴影部分区域记为?（如图），随机往圆内投掷一个点A，则点A落在区域?的概率为（ ）
222·1·
43323133A. ? B . ? .C? D ?
6. 给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a?b，则2a?2b?1”的否命题为“若a?b，则2a?2b?1”； ③“?x?R,x2?1?1”的否定是“?x?R,x2?1?1”；
④等比数列?an?中，首项a1?0，则数列?an?是递减数列的充要条件是公比q?1； 其中不正确的命题个数是 ．．．
A．4 B．3 C．2 D．1
7. 已知函数f?x?是R上的奇函数，若对于x?0，都有f?x?2??f(x)，
当x??0,2?时,f?x??log2?x?1?时，f??2013??f?2012?的值为
A.?2
B.?1
C.1
D.2
8. .将高一(6)班52名学生分成A，B两组参加学校组织的义务植树活动，A组种植150棵大叶榕树苗，B组种植200棵红枫树苗．假定A，B学科网两组同时开始种植．每名学生种植一棵大叶榕树苗用时2小时，种植一棵枫树苗用时1小时.完成这次植树任务需要最短时间为（ ）
25A.
10602523 B. C. D. 31988开始 输入p
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题)
9. 已知平面向量a，b，a?1，b?2，a?(a?b)；则cos?a,b?的值是 .
10. 执行右边的程序框图，若p?4，则输出的S? .
n?0,S?0 n?p 是 否 n?n?1 输出S 结束 x2y2222211、设点P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)与圆x?y?a?b在
abS?S?1 n2第一象限的交点，其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan?PF2F1?3，则双曲线的离心率为______________.
·2·
12. 已知?x?R，使不等式log2(4?a)?3?x?3?x?1成立，则实数a的取值范围是 ．
13. .下面给出四种说法：
①设a、b、c分别表示数据15、17、14、10、15、17、17、16、14、12的平均数、中位数、众数，则a?b?c；
②在线性回归模型中，相关指数R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R越接近于1，表示回归的效果越好
③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ④设随机变量?服从正态分布N(4,2)，则P(??4)?2221. 2其中正确的说法有 （请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上） (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点A?1,?的一条切线，则切线长为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，
??π??引圆??8sin?2?AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T， PB交圆O于Q，若?BTC?120?，AB?4，则PQ?PB= . 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分１２分)
?ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csinA?3acosC?0
（1）求C的值； （2）若cosA?3, c?53，求sinB和b学科网的值. 5
17. . (本题满分１２分)
23甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分.
34（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和?的数学期望； （2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率.
·3·
18. (本题满分１４分)如图甲，在平面四边形
ABCD中，已知
使平面ABD?平面?A?45,?C?90,?ADC?105,AB?BD,现将四边形ABCD沿BD折起，BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC?平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦值； （3）求二面角B－EF－A的余弦值． D
19. (本题满分１４分) 甲C2AB如图，过点P（1，0）作曲线C：y?x(x?(0,??))的切线，切点为Q1，设点Q1在x
y轴上的投影是点P切点为Q2，设Q21；又过点P1作曲线C的切线，在x轴上的投影是P2；………；依此下去，得到一系列点
Q2Q1Q1,Q2,Q3???Qn，设点Qn的横坐标为an.
oP(1,0)（1）求直线PQ1的方程； （2）求数列?an?的通项公式；
P1P2x1?1?.......?1?3（3）记Qn到直线PnQn?1的距离为dn，求证：n?2时，
ddd2n 120. (本题满分１４分)
x2y2?1 (a?１)的左右焦点为F1,F2，抛物线C：y2?2px以F2为焦点且与椭圆相已知椭圆2?2aa?1交于点M?x1,y1?、N
?x2,y2?,点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切.
（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（2）设A,B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P,Q. ?MPQ是以
MP,MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理
由.
·4·
2１. (本题满分１４分)
设函数f(x)?ax?(a?b)x?bx?c其中a?0,b,c?R 1（１）若f?()=0，求f(x)的单调区间；
332（2）设M表示f'(0)与f'(1)两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|f?(x)|≤M．
数学试题（理科）参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供
参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现Z＊X！X！K错误时，如果后继部分的
解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
DAACA CＢC
二、填空题: 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9、
10115； 10、； 11、； 12、[2,4)；
221613、①②④ 14、3； 15、3；
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 16. (本题满分１２分)
?ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csinA?3acosC?0
(1) 求角C的值； (2) 若cosA?3, c?53，求sinB和b的值. 5解：（1）因为csinA?3acosC?0由正弦定理得：
2RsinCsinA?2R3sinAsinC?0…………2分
由sinA?0…………3分
所以tanC??3，C?(0,?)；?C?2?…………6分 3·5·
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