初二-2014第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛

第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛

笔试一解析（初二年级，时间：60分）

一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分）

1． 计算：??1?答案：2016

命题：学而思培优 胡 浩

解答：原式=1+5??31?4?9?31??1?5?13?31?2016 2．两个不等的非0实数x、y，满足x?a?答案：1

命题：高思教育 班 昌 解答：两式作差得x?y?x?y1，因为x?y，故xy?1，即x?，故a?0．?a?1?2?1． xyy11，y?a?，则?a?1?2?_________． yx2014?136?2???31???2??77???3?4?1????????__________． ?31??3． 已知关于x的方程x?1?3?x?a有解，则a的最小值为___________． 答案：8

命题：高思教育 班 昌

?a?8?解答：两边平方得x?1?9?6x?1?x?a，整理得6x?1?a?8，故a?8，x?? ??1，

6??2此时x?1且x??a显然成立，故方程有解．综上，a的最小值为8． 4．如图，E为矩形ABCD的边BC上一点，∠AEB=76°， F为AE中点．已知EF=BC，那么∠AFC= °． 答案：156

命题：华杯北京管委会 陈 平

D 解答：

取CD中点M，连DF、FM，

A ∵ AD＝BC＝EF＝AF，∴ ∠ADF＝∠AFD ∵ FM为梯形AECD的中位线

∴ FM∥AD∥EC ∴ ∠ADF＝∠DFM，∠MFC＝∠FCE， 由△DMF≌△CMF，有∠DFM＝∠CFM，

D ∴ ∠AFD＝∠DFM＝∠CFM＝∠FCE

∴ ∠AFC＝3∠FCE， ∠AEC＝2∠FCE 据题意，∠AEB＝76°，从而∠AEC＝180°－∠AEB＝104° ∴ ∠FCE＝∠AEC÷2＝104°÷2＝52°，∠AFC＝3∠FCE＝3×52°＝156°

C B F E M C

A F E B 初二组4- 1

二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）

5．整数a,b,c,d,e满足：a?b?20，b?c?14，c?d?7，d?e?23，那么

a?b?c?d?e的最小值为________．

答案：43

命题：顺天府学 方 非

解答：∵a?b?b?20?b?20，d?e?e?23?e?23，而c?0，故

a?b?c?d?e?20?0?23?43，而易知，

当a?6,b??14,c?0,d??7,e??16时可取到43．

6．已知四边形ABCD各边都是整数，?A?90?，?B?135?，则四边形ABCD周长的最小值是________． 答案：8

命题：高思教育 班 昌

解答：如右图，作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， 设AB?b,BC?c,CD?d,DA?a， 则AE?b?2222c,CE?c,DF?a?c（或c?a）， 222222D F

C

?2??2?2故可得?b?，整理可得 c?a?c?d???????22????A

B E

a2?b2?c2?2c?b?a??d2，∵a,b,c,d均为整数，故a?b，a2?b2?c2?d2．

又a?b，故a,b,c最小分别为2,2,1，d?3，周长最小为8．

7．如果自然数m、n满足2m?3n=16141，那么m?n的最小值是__________． 答案：19

命题：桦树湾教育 成俊锋

解答：验证可知n?0,1均不成立，故n?2，故2m?4?mod9?，故m?2?mod6?； m?2,8时2m?16141，故m最小为14，此时取n?5满足条件，故m?n最小值为19．

初二组4- 2

8．已知整数a,b满足35?a?35?a?b，那么a＋b的值是 ． 答案：1010

命题：华杯北京管委会 陈 平 解答：

2b?70， b???35?a?35?a???70?21225?a，1225?a???2b2?70∵ b为整数 ∴ 为有理数，从而1225－a是完全平方数

222∵ 70?b2?70?21225?a?70?21225?140且b2为偶数

102?70∴ b＝100，b＝10，代入1225?a?得a＝1000

2∴ a＋b＝1000＋10＝1010．

2

三、填空题Ⅲ（每题12分，共48分）

9．平面直角坐标系中O为原点，作正△OA1B1使得A1在直线y?3x?3上， 2B1在x轴正半轴上；继续在△OA1B1右边作 正△B1A2B2，使得A2在直线y?3x?3上， 2A2 B2在x轴正半轴上；如此继续下去， 则B5的横坐标为___________． 答案：484

命题：高思教育 班 昌

解答：OA1解析式为y?3x，联立y?3x?3 2A1 O B1 B2 得A1坐标为2,3，故B1坐标为?4,0?； 设Bn坐标为?xn,0?，则BnAn?1解析式为

??y?3?x?xn?，联立y?3x?3 2得An?1横坐标为2?xn?1?，故xn?1?xn?2??2?xn?1??xn???3xn?4， 依次可以计算x1,x2,x3,x4,x5为4,16,52,160,484，故B5横坐标为484．

初二组4- 3

10．将正整数n（n至少有4个正约数）的所有正约数从小到大排序d1?d2?d3?d4?已知n恰等于d1,d2,d3,d4的乘积．则不超过100的正整数中有_______个符合条件的n． 答案：6

命题：高思教育 班 昌 顺天府学 叶培臣

解答：n不含因子2，则至少为1?3?5?7?100，故d1?1,d2?2，且n?2d3d4； 若d3?3，则d4?6，?1,2,3,4??1,2,3,5??1,2,3,6?对应n为24,30,36，检验知24,30成立； 若d3?4，则d4?8，?1,2,4,5??1,2,4,6??1,2,4,7??1,2,4,8?，检验知40,56,64成立； 若d3?5，则d4?10，?1,2,5,6??1,2,5,7??1,2,5,8??1,2,5,9??1,2,5,10?，检验知70成立； 若d3?6则必有因子3，矛盾；

若d3?7，则n?d1d2d3d4?1?2?7?8?100；

，

综上，满足条件的n有6个．

11．若干名学生中，任意两人要么相互认识，要么相互不认识．已知任意3个人中至少有2个人互相认识，任意4个人中至少有2个人互相不认识，则一名学生最多认识______个人． 答案：5

命题：高思教育 班 昌

解答：用点表示人，两个人认识连实线，不认识虚线． 首先证明，任意六个人中总有3个人互相认识或互相不认识．

A连出的5条线中必有3条虚实相同，不妨设A连B,C,D的都是实线，若不存三个人互相认识，则B,C,D之间只能连虚线，此时B,C,D三人互相不认识．

对于本题，若A认识六个人，则这六个人中必有三人互相认识或互相不认识．

若B,C,D互相认识，则A,B,C,D四人互相认识，矛盾；若B,C,D互相不认识，也矛盾． 所以A最多认识5人，另外，令A认识B,C,D,E,F，令五边形BCDEF边为实线，对角线为虚线，显然满足条件．故一名学生最多认识5个人．

初二组4- 4

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