2012高考数学函数与方程汇编(5)

【答案】解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为

T1(x),T2(x),T3(x),由题设有

T1(x)?2?3000100020001500?,T2(x)?,T3(x)?, 6xxkx200?(1?k)x期中x,kx,200?(1?k)x均为1到200之间的正整数.

（Ⅱ）完成订单任务的时间为f(x)?max?T1(x),T2(x),T3(x)?,其定义域为

?200??x0?x?,x?N??.易知，T1(x),T2(x)为减函数，T3(x)为增函数.注意到 1?k??2T2(x)?T1(x),于是

k（1）当k?2时，T1(x)?T2(x), 此时 f(x)?max?T1(x),T3(x)??max?由函数T1(x),T3(x)的单调性知，当

?10001500?,?， x200?3x??10001500?时f(x)取得最小值，解得 x200?3x400.由于 940025030044??45,而f(44)?T1(44)?,f(45)?T3(45)?,f(44)?f(45).

91113250故当x?44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44)?.

11x?（2）当k?2时，T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，故k?3，此时

T(x)?375,?(x)?max?T1(x),T(x)?易知T(x)为增函数，则 50?xf(x)?max?T1(x),T3(x)? ?max?T1(x),T(x)?

?1000375???(x)?max?,?.

?x50?x?由函数T1(x),T(x)的单调性知，当

1000375400?时?(x)取得最小值，解得x?.由于x50?x1140025025037525036??37,而?(36)?T1(36)??,?(37)?T(37)??,

119111311此时完成订单任务的最短时间大于

250. 11（3）当k?2时，T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，故k?1，此时

?2000750?f(x)?max?T2(x),T3(x)??max?,?.由函数T2(x),T3(x)的单调性知，

x100?x??2000750800?时f(x)取得最小值，解得x?.类似（1）的讨论.此时 x100?x11250250完成订单任务的最短时间为，大于.

911综上所述，当k?2时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数

当

分别为44,88,68. 【解析】【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.

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