专题13平面向量的线性表示(教学案)备战2018高考高三二轮数学Word

【热身训练】

1．若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论正确的是________． →

(1) 若实数λ1，λ2使得λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0；

(2) 空间任意一个向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)；

→

(3)对于这一平面内的任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2有无数对．

→→→→

2．在△ABC中，若点D，E，F依次是边AB上的四等分点，设CB＝e1，CA＝e2，用e1，e2表示CF，则CF＝________. →→→→3→→→→331解析：在△ABC中，AB＝AC＋CB＝e1－e2，AF＝AB，所以CF＝CA＋AF＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.

4444

→→→

3．设点A，B， C是直线l上不同的三点，点O是直线l外一点，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ的值为________． →→→→→→→→→→→解析：因为点A，B，C三点共线，所以AC＝xAB，又因为OC＝OA＋AC＝OA＋xAB＝OA＋x(OB－OA)＝(1－x)OA→

＋xOB，所以λ＋μ＝1.

→→→

4.在△ABC中，D，E分别是边BC上的两个三等分点，点P是线段DE上一点，且AP＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则xy的取值范围为________．

12?1?1所以xy∈?2，1?.

解析：因为点P，B，C三点共线，所以x＋y＝1，且≤x≤，xy＝x(1－x)＝－?x－?＋，?94?33?2?4??【热点追踪】

从这几年的江苏卷来看，平面向量的线性表示考查频繁，如2015年第6题，2017年第12题，主要考查学生对平面向量线性运算的掌握情况，多以中档题呈现．涉及到平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点，考查形式丰富多样，解决问题的方法也灵活多变，这就要求在二轮复习中抓住典型模型，聚焦高频考点进行专题复习. （一）与系数相关的求值问题

→→→→→

例1. 如图，平面内的两个单位向量OA、OB，它们的夹角是60°，向量OC与向量OA、OB的夹角都为30°，

2

→→→→

且|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB，求λ＋μ的值．

→→→3??1

则A(1,0)，B?，?，C(3，3)，因为OC＝λOA＋μOB，所以(3，3)＝λ(1,0)＋μ

?22?μ

3＝λ＋?2??3

3＝μ??2

3??1

?，?，从而?22?

，解得λ＋μ＝4.

→→→1

变式1 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，M∈AH，AM＝AH，若AM＝xAB＋yAC，求x＋y的值．

3

→?2?1??解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，B(b,0)，H(0,0)，C(c,0)，M?0，a?，则AM＝?0，－a?，

3??3??→

→→→→11

AB＝(b，－a)，AC＝(c，－a)，故由AM＝xAB＋yAC可得－a＝－xa＋y(－a)，即x＋y＝. 33

→→→

变式2 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AO＝xAB＋yAC(x，y∈R)，求x＋y的值．

（二）与系数相关的最值问题

→→→

例2. 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，求x＋4y的取值范围．

3??1

解析：建立如图所示的直角坐标系，设此扇形的半径为1，∠AOB＝60°，所以A?，?，B(1,0)，

?22?

→π→→

变式1 设点A，B，C为单位圆上不同的三点，若∠ABC＝，OB＝mOA＋nOC(m，n∈R)，则m＋n的最小值

4为________．

ππ?π?解析：因为∠ABC＝，所以∠AOC＝，不妨设A(1,0)，C(0,1)，B(cos θ，sin θ)，θ∈?，2π?，42?2?π?5π?则cos θ＝m，sin θ＝n?m＋n＝cos θ＋sin θ＝2sin?θ＋?≥－2，当且仅当θ＝时取等号．

4?4?

变式2 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向→→→

量AC＝ λDE＋μAP(λ，μ∈R)，求λ＋μ的最小值．

解析：以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

→1??，0设正方形ABCD的边长为1，则E?θ，sin θ)，所以AC＝(1,1)，?，C(1,1)，D(0,1)，A(0,0)，设P(cos

?2?→→→1

又AC＝λDE＋μAP.故λ(，－1)＋μ(cos θ，sin θ)＝(1,1)，

2

（三）向量共线定理的应用

→→

例3. 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，→

→

AC＝nAN，求m＋n的值．

→→→→1→→1→→1→1→→→→→→m→n→解析：AO＝AB＋BO＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，将AB＝mAM，AC＝nAN代入可得：AO＝AM＋AN，

222222→→→→→→→→→→→→

设MO＝λMN(0<λ<1)，可得AO＝AM＋MO＝AM＋λMN＝AM＋λ(AN－AM)＝(1－λ)AM＋λAN，由平面向量基本

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