高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题(2)

知识改变命运 教育开创未来

?COA??BOC?7676???256?23?

13?????

∴

|AB|?在

2Δ

2AOB中

?3，

?2由

2余

12弦

?7

定于理得

|OB|?|OA|?2|OB|?|OA|cos8?5?2?8?5?同理，得|BC|?|OB|2?|OC|2?2|OC|?|OB|cos?3?8?3?2?8?3?2212?7

|AC|?|OA|?|OC|?2|OC|?|OA|cos222?3?5?3?2?3?5?2212?7

即 |AB|=|BC|=|AC| ∴ΔABC为正三角形。

证法二：把A、B、C的极坐标转化成直角坐标，利用两点间的距离公式也可。

17．（14分）解：由(x?1)2?(y?2)2?4可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。令 x?1?2cos? y??2?2sin?，则

S?3x?y?3(1?2cos?)?(?2?2sin?)?5?6cos??2sin??5?210sin(???)

其中tan??6?2??3∴当sin(???)?1时，S有最大值，为Smax?5?210

当sin(???)??1时，S有最小值，为Smin?5?210 ∴S最大值为Smax?5?210；S最小值为Smin?5?210。 18．（14分）解法一：∵抛物线标准方程为x?1?x?t2∴它的参数方程为??1?y?t22?212y

y P M 0 x 得 M(

12t，

12t)

2设P（x，y），则M是OP

0?x?1t?的中点∴?22?120?y?t?2?22?x?t2 即 ?（t为参数）消去参数t，得y?x 2?y?t14∴所求P点的轨迹方程为y?x；它是以y轴为对称轴，焦点为（0，解法二：设P（x，y），M（x0，y0），则由中点坐标公式，得 x0?x2）的抛物线。

y2 y0?

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∵M点在抛物线上∴M（

x2，

y2）适合方程y?2x2 即

x22?2?() 即 y?x 。 22y19．（14分）解：⑴．∵OA的方程为y?kx

?y?kx?y2y 2pk∴联立方程??2px 解得 xA?2pk2 yA?

0 A M x 1?1?y??x以?代上式中的k，解方程组?k

k2??y?2pxB 2pk解得 xB?2pk2 yB??2pk∴A（

2pk2，

），B（2pk2，?2pk）。 ?k?1?y?p(?k)k?p(12⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得?x??k)

2消去参数k，得y2?px?2p2 ；即为M点轨迹的普通方程。 20．（14分）解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B1的坐标为（-300，0）。根据题意，可知，t小时后，B的坐标为（?300?40tcos45?，

40tsin45?），即（?300?20y B2 B1 0 A x 2t，202t），因为以台风

中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。 所以令|AB|?250，即(?300?202t)2?(202t)2?2502

152?574152?574整理得16t?12022t?275?0解得?t?，1.99?t?8.61

故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时。

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