高考专题函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用

高考专题函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

最新考纲 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

知 识 梳 理

1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.

x φ－ ω0 0 π2－φω π2 A π－φω π 0 3π2－φω 3π2 －A 2π－φω 2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.

(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象. 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义

当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：

简谐振动 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)， x∈[0，＋∞) 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 A T＝2π ω1f＝T ωx＋φ φ 振幅 周期 频率 相位 初相 - 1 -

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

π

(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移4个单位长度后所得图象的解析式是y＝π??

3sin?2x＋?.( )

4??

(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之T

间的距离为2.( )

(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )

π

解析 (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.

(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单|φ|

位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.

ω答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

π??

2.y＝2sin?2x－?的振幅、频率和初相分别为( )

4??A.2，C.2，

π1

，－4 π

B.2，

π1

，－4 2ππ1

，－8 2π

π1

，－8 π

D.2，

答案 A

- 2 -

π?1?

3.若将函数y＝2sin?2x＋?的图象向右平移4个周期后，所得图象对应的函数为6??( )

π??

A.y＝2sin?2x＋?

4??π??

C.y＝2sin?2x－?

4??

π??

B.y＝2sin?2x＋?

3??π??

D.y＝2sin?2x－?

3??

π?π???

解析 函数y＝2sin?2x＋?的周期为π，将函数y＝2sin?2x＋?的图象向右平

6?6???ππ?1??π?π??

?????移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin2x－＋＝2sin2x－?，故选

443?4?6????D. 答案 D

π??

4.将函数y＝sin?6x＋?的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，

4??π

再向右平移8个单位，所得函数图象的一个对称中心是( ) ?π?A.?，0? ?16?

?π?B.?，0? ?9?

?π?

C.?，0? ?4?

?π?

D.?，0? ?2?

π??

解析 将函数y＝sin?6x＋?的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，可得函

4??π??

数y＝sin?2x＋?的图象，再向

4??

π

右平移8个单位长度，所得函数的解析式为y＝sin 2x，

kπ?kπ?

令2x＝kπ，x＝2(k∈Z)，故所得函数的对称中心为?，0?，(k∈Z)，故所得

?2??π?

函数的一个对称中心是?，0?，故选D.

?2?答案 D

π??

5.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|

2??

的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.

- 3 -

解析 由题中图象知T＝π，∴ω＝2，把(0，1)代入f(x)＝2sin(2x＋φ)，得1＝ππ1

2sin φ，∴sin φ＝2，∵|φ|<2，∴φ＝6. π

答案 2 6

6.如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________.

1

解析 从图中可以看出，从6～14时是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，又22π

×＝14－6，

ωπ1

所以ω＝8.由图可得A＝2(30－10)＝10，

π3π1

b＝2(30＋10)＝20.又8×10＋φ＝2π，解得φ＝4， ?π3π?

∴y＝10sin?x＋?＋20，x∈[6，14].

4??83π??π

答案 y＝10sin?x＋?＋20，x∈[6，14]

4??8

考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

【例1】 设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (2)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到. 解 f(x)＝sin ωx＋3cos ωx

π??1?3?

＝2?sin ωx＋cos ωx?＝2sin?ωx＋?，

3?2??2?又∵T＝π，∴

2π

＝π， ω

- 4 -

π??

即ω＝2，∴f(x)＝2sin?2x＋?.

3??

ππ??

(1)令z＝2x＋3，则y＝2sin?2x＋?＝2sin z.

3??列表，并描点画出图象：

x z y＝sin z π??y＝2sin?2x＋? 3??π－6 0 0 0 π12 π2 1 2 π3 π 0 0 7π12 3π2 －1 －2 5π6 2π 0 0

π?π?

(2)法一 把y＝sin x的图象上所有的点向左平移3个单位，得到y＝sin?x＋?的

3??1?π?

图象；再把y＝sin?x＋?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，

3??π?π???

得到y＝sin?2x＋?的图象；最后把y＝sin?2x＋?上所有点的纵坐标伸长到原

3?3???π??

来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin?2x＋?的图象.

3??

1

法二 将y＝sin x的图象上每一点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，得到π?π?y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移6个单位，得到y＝sin 2?x＋?

6??π?π???

???＝sin2x＋的图象；再将y＝sin2x＋?的图象上每一点的纵坐标伸长到原来

3?3???π??

的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin?2x＋?的图象.

3??

规律方法 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，

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