三角函数公式总结

三角函数公式总结

一、三角函数基本知识

1. 几种终边在特殊位置时对应角的集合为

角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 2．α、

??|??k?360?,k?Z? k?Z? ??|??k?360??90?,??|??k?360??180?,??|??k?360??270?,??|??k?180?,k?Z? k?Z? k?Z? ??|??k?180??90?,??|??k?90?,k?Z? k?Z? ?、2α之间的关系 2?终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。 2?若α终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

2?若α终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

2?若α终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

2若α终边在第一象限则3. 三角函数基本关系式

(1)已知一点一角始边为x轴正半轴，终边上有一点P(x,y)，设r?x2?y2,则

sin??yx2?y2,cos??xx2?y2,tan??y x(2)同角三角函数关系式

sin??cos??1 tan??22sin? co?s1

4. 诱导公式——“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：?? EMBED Equation.DSMT4 ??????，?? EMBED Equation.DSMT4 ??????，其中?? 诱导公式二： ?? EMBED Equation.DSMT4 ???????? EMBED Equation.DSMT4 ??????； ?? EMBED Equation.DSMT4 ???????? EMBED Equation.DSMT4 ??????

诱导公式三： ?? EMBED Equation.DSMT4 ??????； ?? EMBED Equation.DSMT4 ??????

诱导公式四：?? EMBED Equation.DSMT4 ??????； ?? EMBED Equation.DSMT4 ???????? ??诱导公式五：?? EMBED Equation.DSMT4 ??????； ?? EMBED Equation.DSMT4 ?????? ?? EMBED Equation.3 ????

??

?? 1?? EMBED Equation.3 ???? cos(???)??sin?2?? EMBED Equation.3 ?????? ??1sin(???)?cos?21tan(???)??cot?2 ??cos(??x)??cosx cos(1???)?sin?2tan(??x)??tanx

sin(??x)?sinxcot(??x)??cotx ?? EMBED Equation.DSMT4 ????；?? EMBED Equation.DSMT4 ????。

????二、三角恒等变换

1. 和角与差角的三角函数

① 和角的余弦：?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

和角的正弦：?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? 和角的正切：?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

??【变形1】 ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? 【变形2】 ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

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【变形3(正切分解)】 ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ② 差角的余弦：?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

??

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差角的正弦：?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

差角的正切：?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

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【变形(正余弦平方差)】 ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

【和差角正余弦公式应用——辅助角公式】

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED Equation.KSEE3

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\\* MERGEFORMAT ??????

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED Equation.KSEE3

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\\* MERGEFORMAT ??????

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????求值域常用： ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????解答题常见变形： ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

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2. 倍半角公式

① 二倍角公式： ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

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【推广公式】 ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

【常用变形】

降幂： ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED

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Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

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*

② 三倍角公式： ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ??

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EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

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【变形(另一种形式的三倍角公式)】

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

③ 半角公式： ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED

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Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

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?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????（±号的选择由角所

??

在象限决定）

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3. 三角恒等变换 ① 万能公式

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED Equation.KSEE3 ??

\\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ????

② 和差化积与积化和差 和差化积：

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED

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Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

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?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED

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Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

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积化和差：

?? EMBED Equation.3 ???? ?? EMBED Equation.3 ????

????

?? EMBED Equation.3 ???? ?? EMBED Equation.3 ????

????

4. △ABC中，下列等式恒成立

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

??

三、解三角形 1. 正弦定理

原始公式：?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????（R表示外接圆半径）

??

导出公式：

(1)三角形面积?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ????

??

导出：S＝?? EMBED Equation.3 ????＝?? EMBED Equation.3 ????＝?? EMBED

????

Equation.3 ????；

??

S＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径） (2)边角互化

① ?? EMBED Equation.DSMT4 ??????，?? EMBED Equation.DSMT4 ??????，?? EMBED Equation.DSMT4 ??????

② ?? EMBED Equation.DSMT4 ????，?? EMBED Equation.DSMT4 ????，?? EMBED

????

?? ?? PAGE \\* MERGEFORMAT ??1??4??

Equation.DSMT4 ????

??

③ ?? EMBED Equation.DSMT4 ????=?? EMBED Equation.DSMT4 ????=?? EMBED

????

Equation.DSMT4 ??????

④ ?? EMBED Equation.DSMT4 ?????? ⑤ ?? EMBED Equation.DSMT4 ?????? ?? EMBED Equation.DSMT4 ?????? ?? EMBED Equation.DSMT4 ??????

应用范围：① 已知一边与二角（a,B,C） 有解时有唯一解 ② 已知两边和其中一边对角（a,b,A） 单解、双解、无解 2. 余弦定理

原始公式：?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

【导出公式】

(1) 边角关系(射影定理)：

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ??????

(2) 已知三边求余弦值：

?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED

??

Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\*

??

MERGEFORMAT ????

??

应用范围：① 已知两边与夹角（a,b,C） 有解时有唯一解 ② 已知三边（a,b,c） 有解时有唯一解 3. 解三角形常用基本关系式

?? EMBED Equation.DSMT4 \\* MERGEFORMAT ?????? ?? EMBED Equation.DSMT4 ????

???? EMBED Equation.DSMT4 \\* MERGEFORMAT

??

?????? ?? EMBED Equation.KSEE3 \\* MERGEFORMAT ???? ??

欧拉定理： (其中O为△ABC外心，I为△ABC内心，R为外接圆半径，r为内接圆半径)

?? ?? PAGE \\* MERGEFORMAT ??1??5??

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