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3．（2006安徽初赛）已知数列?an??n?0?满足a0?0，对于所有n?N?，有
an?1?230an?an??1?1a1n?，求5an的通项公式．
4. （2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0。 （ 2
5．（2006年南昌市）将等差数列{an}:an?4n?1 (n?N*)中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2006的值.
解:由于an?15?an?60,故若an是3或5的倍数,当且仅当an?15是3或5的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+?)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪?,注意第一个区间段中含有{an}的项
15
个,即8
个,
2004
+1）
3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{bn}的项
为:b1?7,b2?11,b3?19,b4?23,b5?31,b6?43,b7?47,b8?59,于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项,且有b8k?r?br?60k,k∈N,1≤r≤8.
由
于
2006
＝
8
×
250+6,
5.
而
b6?43,
所以
b2006?60?250?b6?60?250?43?16．（2004
湖南）设数列{an}满足条件：a1?1,a2?2，且
an?2?an?1?an(n?1,2,3,?)
求证：对于任何正整数n，都有 nan?1?1?1n
anakak?1ak?1ak?1(k?1,2,?)， 于是
证明：令 a0?1,则有 ak?1?ak?ak?1，且 1??nn??k?1akak?1n??k?1ak?1ak?1 由算术-几何平均值不等式，可得
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1?na1a2?a2a3???anan?1+na0a2?a1a3???an?1an?1
注意到 a0?a1?1，可知 1?1nan?1?n1anan?1 ，即 nan?1?1?1n
an7．（2006年上海） 数列?an?定义如下：a1?1，且当n?2时，
?an?1,当n为偶数时，??2 an??1,当n为奇数时．?a??n?1 已知an?3019，求正整数n．
解 由题设易知，an?0,n?1,2,?．又由a1?1，可得，当n为偶数时，an?1；当n(?1)是奇数时，an?30191an?1?1． ??????（4分）
由an??1，所以n为偶数，于是an?23019?1?1119?1，所以，
n2是奇数．
于是依次可得：an2??11911?1，
n2?1是偶数，an?2?41911?1?811?1，
n?24是奇数，
an?24??11188353?1，
n?64是偶数，an?6?811883?1?3853?1，
n?68是奇数，
an?68??1?1，
n?148是偶数，an?14?16?1??1，
n?1416是偶数，
an?14?32?1?23?1，
n?1432是奇数， ?????（9分）
an?1432??132?1，
n?4632是偶数，an?46?6432?1?12?1，
n?4664是奇数，
an?4664?2?1，
?1n?11064是偶数， an?110?2?1?1，
128所以，
n?110128?1，解得，n＝238． ?????? （14分）
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13. (2005全国)数列{an}满足：a0?1,an?1?7an?45an?3622,n?N.
证明：（1）对任意n?N,an为正整数；(2)对任意n?N,anan?1?1为完全平方数。 证明：（1）由题设得a1?5,且{an}严格单调递增.将条件式变形得2an?1?7an?22245an?36,两边平方整理得an?7anan?1?an?9?0 ① ?12?an?7an?1an?an?1?9?0 ②
2①-②得(an?1?an?1)(an?1?an?1?7an)?0,?an?1?an,?an?1?an?1?7an?0?
an?1?7an?ab?1. ③
由③式及a0?1,a1?5可知，对任意n?N,an为正整数.??????????10分
2（2）将①两边配方，得(an?1?an)?9(anan?1?1),?anan?1?1?(由③an?1?an?9an?(an?1?an)≡?(an?an?1)?mod3? ∴an?1?an≡(?1)nan?1an3).④
2?a1?a0?≡0（mod3）∴
an?1?an3为正整数
④式成立.?anan?1?1是完全平方数.??????????????20分
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