高考数学第一轮总复习 44（基础巩固强化 能力拓展提升 备选题库(4)

因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，得2sinAcosB＋sinA＝0， 1

因为sinA≠0，所以cosB＝－，

22π

又B为三角形的内角，所以B＝. 32π2π

(2)∵B＝，∴f(x)＝2cos(2x－)，

33π2π

∴g(x)＝2cos[2(x＋)－]

123π

＝2cos(2x－)＝2sin2x，

2

ππ

由2kπ－≤2x≤2kπ＋ (k∈Z)得，

22

kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，

ππ

故f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

44

35ππ3

9．(2011·晋中一模)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，)，sin(β－)＝，β∈

5445ππ

(，)． 42

(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．

92

[解析] (1)由题意得(sinα＋cosα)＝，

594

即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.

55

π32

又2α∈(0，)，∴cos2α＝1－sin2α＝，

25sin2α4

∴tan2α＝＝. cos2α3

ππππ

(2)∵β∈(，)，β－∈(0，)，

4244π4

∴cos(β－)＝，

45

πππ24

于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝. 44425π24

又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－. 425

π

4π4

π7

又2β∈(，π)，∴sin2β＝.

2251＋cos2α42

又cosα＝＝，

25

255π

∴cosα＝，sinα＝(α∈(0，))．

554∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β ＝

252457115×(－)－×＝－. 52552525

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