西南2018春[0348]《数理统计》作业答案

1、（D）；2、 (C)；3、(C)；4、(A)；5、（B）；6、(C) ;7、( C ) ；8、（B）；

9、(D) ；10 (C) ；11、(A)；12、 (D)；13、 (B) ；14、（A）；15、（D）.

(n?1)S216、?/n，17、1，18、1.71，19、

r??22、1/2；23、24、2X?1；????i?1?220，?，n?1,20、2/5，21、独立性，代表性；

??25、1/3；26、(4.412,?n?1?l??；??22?ni?i??np?inp1nm??1??25.588)；

n27、????X?X??128、x?X?Y。

k?j?1njxj；29、sn?1nm?j?1??t??2nj(xi?x)；30、?f???；

n??????31、n,2n; 32、?2??ni?；33、X?i?1?(n)；34、大样本检验与小样本检验；35、?2?32nn?n?1?S?022；

???2X；???36、方差分析法；37、8；38、39、?X；40、

；41、（?0.2535,1.2535）；

i?i?1lnX42、（4.412,5.588）.

43、解：X1?X2,max?Xi,1?i?5?,?X5?X1?都是统计量，X5?2p不是统计量，因p是未知参数。

44、解：因为EX?Np,EX222?DX??EX?2?Np?1?p???Np?，只需以X,21nn?i?1X2i分

??别代EX,EX解方程组得NX22X?Sn??1?,p?1?S2SnX2。

245、解：由于

ES22?n2???,DS?2 服从自由度为

42n-1的?-分布，故

2?4??n?1??2?n?1???n?1?1，

从而根据车贝晓夫不等式有

0?P?S2??2????DS2?2?2?42n?n?1??????0，所以S?n??2??n?1i?1Xi?X?2是?2的相合估计。

46、解：似然函数为

nnnnxi2L?????i?1xi?xi2??i?1xin??i?1n?xi?i?1xi2?e2??e2?,lnL?????nln??ln?i?12?,nndlnL??d?n???n??i?1xi22?2?，令

dlnL??d???0，得????i?1X2i2n.由于

E????i?1EX2n2i?12EX2?12??1x02x?x2?e2?dx????x2?x202?e2?dx22?????2???，

因此?的极大似然估计量??是?的无偏估计量。 47、解：?2?0.01,x?216?2.14?2.10?L?2.11??2.125，置信度0.9，即α=0.1，

查正态分布数值表，知??1.65????u1??/2??0.95, 即P?U?1.65??1???0.90,从而u1??/2?u0.95?1.65，区间为

????x?u,x?u??2.125?0.004,2.125?0.004???2.121,2.129?. 1??/21??/2??nn???nu1??/2?0.0116?1.65?0.004，所以总体均值?的0.9的置信

48、解：首先建立假设：

在n=8，m=7, α=0.05时,

F0.025?7,6??1F0.975?6,7??15.12?0.195,F0.975?7,6??5.70.

22H0:?1??2,H1:?1??22222

s2=0.2729，故拒绝域为?F?0.195,or F?5.70?, 现由样本求得s1=0.2164，从而F=0.793，

未落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可认为两台机床加工精度一致。 49、解：以X记服药后与服药前血压的差值，则X服从N??,?2?，其中?,?2均未知，这

些资料中可以得出X的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2

H0:??0,H1:??0 待检验的假设为

这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用t检验法当

T?X??0S/n?t1??/2?n?1?时，接受原假设，反之，拒绝原假设。依次计算有

2 x?t?110?6?8?L?7?2??3.1,s?2.3228，

???6?3.1?10?112?L??2?3.1?2??17.6556，

3.1?017.6556/10由于t1??/2?n?1??t0.975?9??2.2622， T的观察值的绝对值t?2.3228?2.2622. 所以拒绝原假设，即认为服药前后人的血压有显著变化。

50、解：令X=1表示被调查者患慢性气管炎，X=2表示被调查者不患慢性气管炎，Y表示被调查者每日的吸烟支数。 原假设H0：X与Y相互独立。

根据所给数据，有

23?2?n?i?1?j?1?nij?ni.?n.j/n?ni.?n.j2244?145??22???272???44?14527222187?145??98???272???187?1452722241?145??25???272???41?1452722?44?127??22???272??44?127272187?127??89???272???187?12727241?127??16???272???41?127272?1.223,2对于α=0.05，由自由度（r-1）（s-1）=（2-1）（3-1）=2，查?-分布表?0.92??5.991. 因5?2为?=1.223<5.991，所以接受H0，即认为患慢性气管炎与吸烟量无关。 51、解：样本容量为n=100

样本均值，样本方差，样本修正方差分别为

x?2211001?2?20+3?30+L+6?15??3.85,22sn?s210010099?222?20+3?30+L+6?15??3.852?1.9275,

?sn?10099?1.9275?1.946969L.52、解

（1）因为P?Xi?xi???xixi!e??,xi?0,1,2,L,??0,所以X1,L,Xn的概率分布为

nnnP?Xi?xi,i?1,2,L,n???i?1P?Xi?xi???i?1?xixi!e????n?i?1xiexi!?n?,xi?0,1,2,L.

?i?1（2）因为EX?DX??，所以EX?EX??,DX?1nDXn2??n2,ESn?2n?1n?109DX?n?1n?.

（3）x??nxi?4010?4,sn?21ni?1?nxi?x22?i?1?10110xi?4?3.6,s2sn?4.

2i?1将样本观察值依照从小到大的顺序排列即得顺序统计量x?1?,L,x?10?的观察值如下：（1，2，3，3，4，4，4，5，6，8）。

53、解： 因每个Xi与总体X有相同分布，故

72Xi?00.5?2Xi服从N?0,1?，则

?i?17?Xi?0?22???4?Xi服从自由度n=7的?-分布。因为?0.5?i?1??????2222查表可知?0.97??16.0128, P??Xi?4??P?4?Xi?16??1?P?4?Xi?16?，75??i?1??i?1??i?1???故P??Xi2?4??0.025.

?i?1?3777754、解：似然函数L(θ)??i?1P{Xi?xi}?P{X1?1}P{X2?2}P{X3?1}

ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ) 求导

dlnL(θ)dθ?56?11?θ?θ2?2θ(1?θ)?θ52

?2θ(1?θ)?0

得到唯一解为θ??56

n???1??,若?1?X55、解：先写出似然函数 L(?1,?2)??????1??2??0,其他(1)?X(n)??2

似然函数不连续，不能用似然方程求解的方法，只有回到极大似然估计的原始定义，由似然函数，注意到最大值只能发生在

?1?X（1）?X(n)??2

时；而欲L(X;?1,?2)最大，只有使?2??1最小，即使??2尽可能小，??1尽可能大，只能取

??1=X(1)，??2=X(n)．

56、解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差?A??B的置信水平为0.95的置信区间为

???x?x??sBw?A?1n1???t0.975(n1?n2?2)???2.7?sw??n2??119?t0.975(22)???15?1??2.7?7.266???1919??t0.975(22)?

?15?1??2.0739?

?15?1???2.7?sw??????2.7?6.35????3.65,9.05?

1F1??/2?m?1,n?1?57、解：n=m=10, 1-α=0.95，α=0.05,

F1??/2?n?1,m?1??F0.975?9,9??4.03,F?/2?n?1,m?1???0.2418,

从而

2?S2?SA110.54191?0.54191?A,?,?[0.222，3.601]?2?2???0.60654.030.60650.2418??SBF1??/2?n?1,m?1?SBF?/2?n?1,m?1??故方差比?2A/?2B的0.95的置信区间为[0.222，3.601]。

58、这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。

检验统计量为

?2?(n?1)S1.6622。

代入本题中的具体数据得到??2(10?1)?121.662?39.193。

2检验的临界值为?0.975(9)?19.022。

因为??39.193?19.022，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设H0，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。

59、解：这是列联表的独立性检验问题。在本题中r=2，c=4，在α=0.05下，

?0.9522??r?1??c?1???ni.?n.j/n?0.95?3??7.815, 因而拒绝域为：W???22?7.815?. 为了计

算统计量(3.4)，可列成如下表格计算ni.?n.j/n：

大专以上 中专技校 高中 初中及以下 36.8 128.9 651.7 1023.6 23.2 81.1 410.3 644.4 60 210 1062 1668 1841 1159 3000 男 女 合计 从而得 ?22??40?36.8?36.82??20?23.2?23.22?L??625?644.4?644.42?7.236,

由于?=7.326<7.815，样本落入接受域，从而在α=0.05水平上可认为失业人员的性别与文化程度无关。

?p, x?160、由于f?x,p???,容易验证定理2.2.2的条件满足，且

1?p, x?0?1I?p?1nI??x?0??lnf?xi,p????f?p??2?xi,p??1p?1?p?n，

所以方差下限是

?p??p?1?p?n. 大家知道X?1n?i?1Xi?vn (ν表示“１”发生的频率)

是p的无偏估计，而DpX?

p?1?p?n达到罗－克拉美不等式的

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