第八节正弦定理、余弦定理的应用举例课时作业

课时作业(二十七)

一、选择题

1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是

A．α>β C．α＋β＝90°

B．α＝β D．α＋β＝180°

( )

解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知． 答案：B

2．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为

A．15米 C．10米

B．5米 D．12米

( )

解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°， 则OC＝OA＝h.

在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h， 在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，

由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD， 即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°， ∴h2－5h－50＝0，解得h＝10，或h＝－5(舍)． 答案：C

3．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为

A．502m C．252m 解析：由正弦定理得

ABsin∠ACB

B．503m 252

D.2m AC＝sin B，

( )

250×AC·sin∠ACB2

∴AB＝＝sin B1＝502(m)．

2答案：A

4．据新华社报道，强台风在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树的上半部分折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是

206

A.3米 106

C.3米 解析：

B．106米 D．202米

( )

如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AO20206AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，sin 45°＝sin 60°，∴AO＝3(米)．

答案：A

5．(2012年广州六校联考)如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于

A.3 C．63

B．53 D．73

( )

解析：连接BD，在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°， ∴∠CBD＝30°，BD＝23， 1

S△BCD＝2×2×2×sin 120°＝3. 在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°， AB＝4，BD＝23，

11∴S△ABD＝2AB·BD＝2×4×23＝43， ∴四边形ABCD的面积是53. 答案：B

6．在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)

A．2.7 m C．37.3 m

解析：依题意画出示意图．

B．17.3 m D．373 m

( )

CM－10CM＋10则tan 30°＝tan 45°

tan 45°＋tan 30°

∴CM＝×10≈37.3 m.

tan 45°－tan 30°答案：C 二、填空题

7．(2011年上海)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．

2AC

解析：如图，∠C＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，sin 45°＝sin 60°. 得AC＝6. 答案：6

8．上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.

解析：

如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝

答案：

1 0003

3 m.

1 00033

9．如图所示，在日本大地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.

解析：∠BCA＝45°，∠ABC＝75°

10x106

∴∠BAC＝60°，由正弦定理sin 60°＝sin 45°，解得x＝3. 106答案：3 三、解答题

10．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？追上时甲船行驶了多少海里？

解：如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，

则BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°， 由正弦定理知

AC

＝sin B，

sin∠CABBC

13∴＝sin 120°， sin∠CAB

1

∴sin∠CAB＝2，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，

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