导数公式证明大全[1](2)

（13）h(x)=f(x)/g(x) h'(x)

=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx

=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))

=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))

=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))

=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x)) =[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x

（14）h(x)=f(g(x)) h'(x)

=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx

=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx （另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu） =lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx

=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu) =lim f'(u)*Δu/Δx

=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx =f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)

总结一下

（x^n）'=nx^(n-1) （sinx）'=cosx （cosx）'=-sinx （a^x）'=a^xlna （e^x）'=e^x

（loga^x）'=1/(xlna) （lnx）'=1/x

(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx (cscx)'=-cotx*cscx (x^x)'=(lnx+1)*x^x

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)

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