华理 高数 答案 第4章

第4章 （之1） 第19次作业

教学内容：§4 .1 .1 函数的单调性 §4 .1 .2 函数的极值

1．填空题

**（1）若f(x)?asinx?答：2

*（2）y?x?x的单调减少区间是 ____________________答：?0，?　　　　(写开区间也可以)

2．选择题

***（1）设f(x),g(x)在区间[a,b]上可导,且f?(x)?g?(x),则在(a,b)内上有 （ ）

1? sin3x在x?处有极值,则a?__________________33

?1??4?(A)　f(x)?g(x)?0　　　　　　　　(B)　f(x)?g(x)?0

(C)　f(x)?g(x)?f(b)?g(b)　　　　(D)　f(x)?g(x)?f(a)?g(a)

答：(D)

***（2）已知f(x)?x3?ax2?bx在x?1处有极值?2 , 则常数a,b之值为 （ ）

(A)　a??2,b?1　　　　　　　(B)　a?1,b??1

(C)　a?0,b??3　　　　　　　(D)　a?0,b??2答(C)

***（3）函数y?f(x)在点x?x0处连续且取得极大值则f(x)在x0处必有(　　)

(A)　f?(x0)?0　　　　　　　(B)　f??(x0)?0(C)　f?(x0)?0且f??(x0)?0　　(D)　f?(x0)?0或不存在答(D)

3．求下列函数的单调区间: **（1）求函数y?x?2

6的单调区间 x2(x3?3)解：函数在(??,0)及(0,??)内连续， y??， 2x解得驻点　　x?33，

3(??,0) ((33,??)) (0,33) 3 x － － 0 + y' y ↓ ↓ ↑ 49

函数的单调增区间为(33,??)，单调减区间为(??,0),(0,33).

22**（2）求函数　y?(x?5)3(x?1)的单调区间

18(x?5)(x?)2　　x??1， ??)内连续　y??解：函数在(??，33x?11令　y??0得　x1?5，x2?，而当x??1时,y?不存在，

25 (5,　x (??,　?1) -1 ??) 111(?1,　) (，5) 222 － x ＋ 0 － 0 ＋ y' y ↓ ↑ ↓ ↑ . 函数的单调增区间为[?1,1(??,?1),[12],(5,??)，单调减区间为2,5])

4．证明下列不等式

**（1）证明当x?1时，2x?3?证明：令f(x)?2x?3?

1。 x111?2， ，　f?(x)?xxxf(x)在1，???上连续?当x?1时　　f?(x)?0　　故f(x)在1，???上单调增1当x?1时恒有f(x)?f(1)?0，　　即2x?3?.

x

***（2）当b?a?e时，a?b； 解：设f?x??xlna?alnx?x?a?，

ba?

axlna?a?， ?a?e?lna?1， xx?当x?a时，f??x??0， ?b?a?e时，f?b??f?a?，

?blna?alnb?0， ? ab?ba.

f??x??lna?

**（3）当0?x??2解：设f?x??tanx?sinx?2x，

f??x??sec2x?cosx?2

时，tanx?sinx?2x.

1?cos3x?2cos2x1?cos2x?cos3x?cos4x??? ???00?x???

2cos2xcos2x????2 50

?f?x??f?0??0， 即 tanx?sinx?2x.

5．求下列函数的极值 **（1）f?x???x?1?解：?f??x??232x3（注：本题说明讨论极值时不可忽略导数不存在的点。）

1?352x?x3352x??313，

x32。 及不可导点为x?0。 52?当x?0时，f??0， 当0?x?时，f??0，

52当x?时，f??0。

5 ?x?0时，f?x?取极大值0，

令f??x??0，得驻点x?x?

23?2?时，f?x?取极小值???. 55?5?23**（2）f?x??2cos2x?4cosx. 解：f??x???22sin2x?4sinx，

令f??x??0， ??42sinx?cosx?4sinx?0，

?sinx?0或cosx??1， 2?x?n?，x?2n?????n?Z?， 4又?f???x???42cos2x?4cosx，

而f???n???0，f???2n??????????0， 4???极大值f?2n???4?2，f?2n?????2?4；

极小值f?2n????

****6．设f?x?在x0的某邻域内具有n阶连续导数，且f??x0????f?n?1????????22. 4??x0??0，而

f?n??x0??0.试证明：

①当n为奇数时，f?x0?不是极值；

②当n为偶数时，若f?n??x0??0（或?0），则f?x0?是极大值（或极小值）。 证：?f?x?在x0的某邻域内具有n阶连续导数，由n?1阶泰勒公式，

51

f?n?1??x0?f?n????n?1?x?x0???x?x0?n f?x??f?x0??f??x0??x?x0????(n?1)!n!f?n?????x?x0?n ，?在x0与x之间. ?f?x0??n!不妨设f?n??x0??0，根据连续函数的局部保号性定理，可知存在x0点的某个邻域N(x0)，

当x在该邻域内时总有有f?n??x??0. 由于?在x0与x之间,可知?也必然在该邻域内，所以有f?n?????0. 于是

① n为奇数时，只要x0?x?x0??，就有

f?x??f?xf?n????0??n!?x?xn0??f?x0?， 当x0???x?x0时，

f?x??f?xf?n????0??n!?x?x0?n?f?x0?， ?x0不是极值点.

② 当n为偶数时，只要0?x?x0??，就有

f?x??f?xf?n????0???x?x0?n?f?x0?， ?n! ?f?x0为极小值.

第4章 （之2） 第20次作业

教学内容：§4 .1 .3 最大值与最小值 §4 .1 .4 方程根的个数

**1。方程x3?3x?1?0在(0，1)内 (A)　无实根　　　　　(B)　有唯一实根(C)　有两个实根　　　(D)　有三个实根

答　(B)

**2．求函数y?x?1?x在指定区间??5,1?上的最大值和最小值.

解：?y??1??121?x?121?x?21?x， ?临界点为x?34，x?1。

考虑y??3??4???34?1?34?54，y?1??1?1?1?1，

在端点处y??5???5?1???5???5?6，y?1??1。

52

）

（

?3?5?最大值为y???，

?4?4最小值为y??5???5?6.

2**3．求函数y?x?3x?2在x?10时的最大值,最小值

解：由于所给函数与函数g?y2?(x2?3x?2)2 有相同的最大值与最小值点，

而dg?2(x2?3x?2)(2x?3)，dx

dg3令?0得x1?1，x2?2，x3?。dx2原来函数值

31　　y(1)?y(2)?0，y()?24　　y(?10)?132，y(10)?72

故所给函数的最大值为y(?10)?132　　　　　　最小值为y(1)?y(2)?0.

**4．设 A?(2a,0)(a?0), 在心形线 ??a(1?cos?) 的第一象限部分上找一点P, 使

?OPA的面积最大.

解：由于线段OA?2a为一个确定的值, 所以本问题本质上是求P点纵坐标

y?a(1?cos?)sin?(0???的最大值.

令

?2)

dy?a(2cos2??cos??1), d?dy???0, 可得(0,)上的唯一驻点 ??, d?32根据实际意义可知, 所求之点就是对应于 ???3 的点

333P?(a,a).

44

**5．欲造一个有上、下底的圆柱形铁桶，容积为定值V，试问当铁桶的底半径R和高度H取何值时，才能使用料最省？

2解：所需材料为A?2?R?2?R?H。

V。 2?RV2V22?2?R? ?A?2?R?2?R?，

R?R22 ?定值V??RH，?H? 53

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