正项级数收敛性判别法的推广大学本科毕业论文(3)

第 11 页 共 18页

?x?2n?!???a?2n?此时 2n?nan?x?n!???n?当x=e时，lim?2?n??2n?2n??x?4?n???e24n???e??2n??nn??n?12n?x?2?n???e???e??n?2n?2n?x??2??

?e?n1，由定理2得，级数发散 2例2：讨论?解 令 an?1是否收敛 2n?1n?lnn1， 则 2n?lnn?lnna2n?2n??ln2nn2?lnnn2 ???21an2n??ln2n22?ln2n?n2?lnnn2211?122n?1??ln?n?1?n?1???a2n?1?2n?1??ln?2n?1???? 221an?1?2n?1??ln?2n?1??2?1?2??n?1??ln?n?1?n??ln?2n?1??21?n?1???1??n??1221?ln?n?1?2n?2??ln?n?2?n?2???a2n?2?2n?2??ln?2n?2???? 221an?2?2n?2??ln?2n?2??2?2?2??n?2??ln?n?2?n??ln?2n?2??22?n?2???1??n??1?ln?n?2?2lima2naa111?lim2n?1?lim2n?2?2??

n??an??an??a242nn?1n?21收敛 2n?1n?lnn?根据定理2得到，?例3 证明级数?证明：令an??lnn收敛 6nn?1lnn n6济南大学毕业论文用纸

第 12 页 共 18页

ln?n?1?n?1??an?1 因为lim?limn??an??lnnnn66?1 ，

所以不能用达朗贝尔判别法来证明是否收敛

ln?2n?1?ln2n6ln?2n?2?6?2n?2??2n?a2n?1??2n?1?aa 2n?，， lim2n?2?

n??lnnlnn?1lnn?2anan?1an?2????666n?n?1??n?2? lima2nan?1a2211?lim2?limn??6?

n??an??an??a22nn?1n?2lnn收敛 6n?1n??6所以级数?例4 证明级数?3lnn3n收敛

n??na2nln2n3证明： 因为 ?2n??anlnn3ln2?ln3?0(n??)

n2n?1?n?11?0(n??)

n2n?1?n?11ln?2n?1?a2n?1ln?2n?1?3n?1 ????2n?1an?1ln?n?1?ln?n?1?33? 所以级数

n???3lnn3n收敛

2．3达朗贝尔判别法的第3种推广与应用 2．3．1达朗贝尔判别法的第三种推广

引理1 给定两个正项级数（A）?an和（B）?bn，若从某项起（如n>N时），不等

n?1n?1?4???式

aknbknakn?1bkn?1?,?,anbnanbn,akn?k?1bkn?k?1?成立， anbn则级数（B）收敛蕴含级数（A）收敛；级数（A）发散蕴含级数（B）发散 引理2 给定正项级数?an，若limn?1?5??akn?i?p(i?0,1k?1)，则

n??an济南大学毕业论文用纸

第 13 页 共 18页

?1（1）当p<时，则级数?an收敛

kn?1?1（2）当p>时，则级数?an发散

kn?1下面将引理2推广到如下形式

定理：给定正项级数?an，若对一固定自然数，有

n?1?alimkn?i?pi?i?1,2,n??an?,K?，?pi?p

i?1?K则 （1）p?1时，?an收敛； （2）p?1时，?an发散

n?1n?1证明：当p?1时，对充分大的n?n0，存在??akn?i??pi? ank1?p，使 2???akn??i?p?i?a n即 k??N故对任意的自然数 N?n0，有 将上式再关于i求和，得

n?n0?akn?i??N???pi???an

k?n?n0???ai?1n?n0k(N?1)kNkn?i??N????pi???an

k?n?n0i?1?kN1?pN即 ?an??p????an?an ?2n?n0n?kn0?1n?n0令 Tn??ai，则上式可以变成：

i?1n1?p1?pTN?Tn0?Tk(N?1)?Tn0 221?p1?pTk(N?1)?Tkn0?1?Tn0 移项整理得：Tk(N?1)?22Tk(N?1)?Tkn0?1?????即 Tk(N?1)?2?1?p?T?Tn0?=M ?kn0?11?p?2?济南大学毕业论文用纸

第 14 页 共 18页

由于?an的部分和有界，所以级数收敛

n?1?当p?1时，对充分大的n?n0，存在?1?ap?1p1，使 kn?i?p1??1 2pan即 akn??i?1?p?p1a2p n同上，先对n从n0到N求和，再对i从1到k求和，则有

Tk?N?1??Tkn0?1??1?pTN?Tn0 2??若?an收敛，上式中令N??，则有

n?11?2p??1?2p????a?a?T?T?a?T???nnn0?kn0?1nn0??Tn0 ??2?n?12?n?1n?1??1?p???即 ?an?Tn0?a?T??nn0? 2n?1?n?1?又 则有

???an?1?n?Tn0?n?kn0?1??an?0

1?p?1 2即 p?1 与 p?1矛盾，故级数发散

2．3．2应用举例

例1 正项级数?an中a1?1，a2n?1?n?1?9??12an，a2n?2?an(n?1,2,)，试讨论正25项级数?an敛散性

n?1?解：利用定理，取k=2，，则 p?故级数收敛

129??1? 25103比较判别法的推广与应用

济南大学毕业论文用纸

第 15 页 共 18页

3．1比较判别法的推广

定理1??（比较原则的推论）设 u1+u2+…+un+… ?1?

1 v1+v2+…+vn+… ?2?

是两个正项级数，若

u limn?l ?3?

n??vn则 (i)当0

?6??1，则定理1，就演变成了如下： kn?n??定理2 对于正项级数?un，若limnun?m?0或limnun??，那么级数?un发散；

n?1n??n?1如果有k>1使得lim?nun存在，则级数?un收敛

kn???n?1下面对定理2进行推广，以定理的形式叙述如下：

定理3 设?an为正项级数，令?f?n???an，a?0，f?n?为当x=n时由某一函

n?0n?0n?0???数f?x?所确定的值，f?x?连且续有直到m阶的有限导数：

limf?x??limf?x???limf?x????x??x??x???limf?x??m?1??x??0

如果对f?x?的m阶导数f?m??x?存在一幂函数xk?m?k?0?，使得，

xk?mf?m??x??s，0?s??? limx??那么当k?1时，级数?an收敛，当k?1时，级数?an发散

n?0n?0??证明：运用罗必塔法则m次可得，

f?x?f??x??lim? limx??x???k1xkxk?1?limx??f?m??x?m??1?p?p?1?xk?m1?p?m??

济南大学毕业论文用纸

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库正项级数收敛性判别法的推广大学本科毕业论文(3)在线全文阅读。