数学分析 刘三阳 第三讲习题解答!

习题3-1

1. 设定义在[a,b]上的函数f(x)在(a,b)内连续,且limf(x)和limf(x)存

x?a?x?b?在(有限).问f(x)在[a,b]上是否有界?是否能取得最值? 解 在闭区间[a,b]上构造辅助函数

?f(x), x?(a,b),? g(x)??f(a?), x?a,

?f(b?), x?b.?则g(x)在[a,b]上连续，从而g(x)在[a,b]上有界. 由于

g(x)?f(x) (a?x?b)，故

f(x)在(a,b)上也有界，即存在M1?0，使得 f(x)?M1, x?(a,b).

令 M?max?M1,f(a), f(b)?，则有 f(x)?M, x?[a,b]. 条件同上，但f(x)在[a,b]上却不一定能取得极值. 例如： 2. 试用确界存在原理或有限覆盖定理证明有界性定理.

证明 （1）用确界存在原理证. 设E?{xf(x)在[a,x]上有界.x?[a,b]}，则E非空且有上界，由确界存在原理，存在??supE. 下面要证 ??b 并且b?E，以使E?[a,b]，

即f(x)在[a,b]上有界.反证法。若??b，由连续函数的局部有界性，

??0?0, f(x)在

(???0,???0)内有界，即存在x0??，使x0?E，这与??supE相矛盾，

所以??b.

再证f(x)在[a,b]上有界. 因为f(x)在点b连续，所以存在??0，使

f(x)在(b??,b]

上有界；再由b?supE可知f(x)在[a,b?]上有界，于是f(x)在[a,b]上

2?有界.

（2）用有限覆盖定理证. 已知f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上每一点x0的极限存在，因此存在点x0的邻域?(x0,?)，使f(x)在该邻域内有界，f(x)?M，这里的正数?及M与点x0有关.由于[a,b]上的每一点都得到这样一个邻域（即开区间），这些开区间的全体构成一个开区间集，它覆盖了[a,b]. 根据有限覆盖定理，在开区间集中必有有限个开区间覆盖[a,b]，记这有限个开区间为

(x1??1, x1??1), (x2??2, x2??2),?,(xk??k, xk??k)，相应的M分别记为

~~M1,M2,?,Mk. 令M?max{M1,M2,?Mk}，则有 f(x)?M , x?[a,b].

注：对于区间端点a和b，可以用延拓的方法将[a,a??)及(b???,b]换为开区间(a??,a??)及(b???,b???)， 并考虑函数

?f(a), a???x?a? a?x?b g(x)??f(x),

?f(b), b?x?b????f(f(x))???.证明3. 设f(x)是[0,??)上的连续正值函数,若xlim???x???limfx(?)??.

证明 反证法. 假定结论不成立，则?X?0, ?n有xn?n，使得

0?f(xn)?X.

因为f(x)连续，所以f(x)在[0,X]上有界，从而?M?0，使得f(x)?X时，有

f(f(x))?M.由此可知，?n,?xn?n，使

x???f(f(xn))?M，这与

limff(x?(?))?

矛盾.

f(x)???.证明f(x)在(??,??)内可4. 设f(x)在(??,??)内连续,且xlim???取得最小值.

f(x)???，故?x0?(??,??)有f(x0)?0，且?X?0， 证明 因为xlim???当

x?X时，有 f(x)?f(x0). 由于f(x)在[-X，X]上连续，故可取得最小

值，从而f(x)在(??,??)内可取得最小值.

5. 设f(x)在[a,b]上连续,若开区间(a,b)内任一点均非f(x)的极值点.证明f(x)在[a,b]上单调.

证明 容易知道，f(x)的最大、最小值点不在(a,b)内，因此不妨假定f(a)是最小值，f(b)是最大值，此时f(x)是递增的.事实上，若存在x1,x2?(a,b),x1?x2，使得f(x1)?f(x2)，则f(x1)是[x1,x2]上的最大值，则f(x1)是最大值，f(a)是最小值. 由此f(x2)是最小值. 而在[a,x1]上，得出x1是f(x)的极大值点，矛盾.

6. 设f(x)在[a,b]上连续,且对任意x?[a,b]总存在y?[a,b]使

f(y)?1f(x).证明f(x)在[a,b]上存在零点. 2 证明 由于f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在[a,b]上也连续，设

f(x0)为其最小值.

又依题设，存在y0?[a,b]，使得 f(y0)?7. 用有界性定理证明最值存在定理.

f(x0)2，这只有f(x0)?f(y0)?0.

证明 因为f(x)在[a,b]上连续，所以有界，从而存在上、下确界M、m.现证?x0?[a,b]

使f(x0)?M（对m类似可证）.假若不存在这样的x0，则对x?[a,b]有

M?f(x)?0.

令F(x)?1，易知F(x)在[a,b]上连续，从而有界.不妨设

M?f(x)F(x)?M,x?[a,b]

但因Mf(x?)?M?是

f(x)的上确界，故存在x??[a,b]使

11,F(x?)??M MM?f(x?)矛盾.

习题3-2

1 . 设a1,a2,a3?0,b1?b2?b3.证明:方程

(b2,b3)内恰好各有一个实根.

aa1a?2?3?0在(b1,b2)和x?b1x?b2x?b3证明 令 f(x)?续，

aa1a?2?3，则f(x)在(b1,b2)和(b2,b3)内连x?b1x?b2x?b3b1,b2,b3是f(x)的无穷型间断点.

由limx?b1?a1a???, lim?2???，

x?b2x?bx?b12则有 limf(x)?lim??x?b1??a1a3?a2??????， ?x?b1?x?bx?b2x?b3?1??aaa?312? limf(x)?lim???????. x?bx?b?x?bx?bx?b123??2?2?从而必存在x1,x2 (b1?x1?x2?b2)，使f(x1)?0, f(x2)?0. 对f(x)在[x1,x2]上应用

零点定理，则f(x)在(x1,x2)?(b1,b2)内至少存在一个根.又由于f?(x)?0，故f(x)在(b1,b2)内单调减，所以恰有一个实根. 类似证明f(x)在(b2,b3)内也恰有一个实根.

2. 闭区间[a,b]上具有介值性的函数是否一定在[a,b]上连续? 解 如果一个函数可以取到它的任何两个函数值之间的一切值，则称此函数具有介值性质.闭区间上的连续函数具有介值性，但反之不真. 例如

f(x)??0?x?1,?1?x,

??1?x, ?1?x?0.具有介值性，但在x?0不连续. 又例如 f(x)??x为有理数，?x, ?1?x?1.

??x, x为无理数，虽然f(x)取介于f(?1)??1,f(1)?1之间的所有数作为其函数值，但是

f(x)在[?1,1]上并不连续.

3. 设函数f(x)在开区间（a, b）上连续，且f(a?0)和f(b?0)存在，证明：f(x)可取到介于f(a?0)和f(b?0)之间的一切值.

?f(a?0), x?a?a?x?b 证明 作辅助函数g(x)??f(x), ?f(b?0), x?b.?g(x)在[a,b]上连续，当x?(a,b)时，g(x)?f(x).

f(xn)?A.证明存在??[a,b]使4. 设f(x)在[a,b]上连续, xn?[a,b],limn??f(?)?A.

证法1 因为f(x)在[a,b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，

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