第二章 随机变量及其分布函数1

概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电）

第二章 随机变量及其分布函数 一 随机变量及其分布函数 §1随机变量的概念

为了对各种各样不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等数学工具引进概率论。我们需引入随机变量的概念。

随机变量：设试验的样本空间为Ω，在Ω上定义一个单值实函数X=X(e),e∈Ω,对试验的每个结果e,Ｘ＝Ｘ(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，那Ｘ＝Ｘ（e）的取值也是随机的，我们便称此定义在样本空间 上的单值实函数Ｘ＝Ｘ（e）为一个随机变量。

引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示了。（见图）

通俗讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。 例1 向靶子（见图）射击一次，观察其得分，规定 击中区域Ⅰ得２分 击中区域Ⅱ得１分 击中区域Ⅲ得０分

样本空间Ω＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ｝。定义随机变量X表示射击一次的得分 即 于是，

例2 观察某电话交换台，在时间Ｔ内接到的呼唤次数。 样本空间Ω＝｛０，１，２，……｝。可定义随

机变量Ｘ就表示在时间Ｔ内接到的呼唤次数。于是，

Ａ＝｛接到呼唤次数不超过１０次｝＝｛Ｘ≤１０｝

Ｂ＝｛接到呼唤次数介于５至１０次之间｝＝｛５≤Ｘ≤１０｝ ,,

例3 从一批灯泡中任取一个灯泡作寿命试验。观察所测灯泡的寿命（单位：小时） 样本空间Ω＝［０，＋∞］。可定义随机变量Ｘ表示所测得灯泡的寿命于是，

Ａ＝｛测得灯泡寿命大于５００（小时）｝＝｛Ｘ>500｝ Ｂ＝｛测得灯泡寿命不超过５０００（小时）｝＝｛Ｘ≤５０００｝。 不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。 例4将一枚硬币上抛一次，观察正，反面出现的情况。 试验的样本空间Ω＝｛Ｈ，Ｔ｝，Ｈ－正面，Ｔ－反面。 可定义随机变量Ｘ表示上抛１次硬币正面出现的次数，即 于是，Ａ ＝｛出现正面｝＝｛Ｘ＝１｝。 用随机变量表示事件常见形式有

等等（这里X为随机变量，χ，χ1，χ2等为实数） §2分布函数

定义 设X为随机变量，对任意实数χ，则称函数 F（χ）=P{X≤χ} 为随机变量X的分布函数。 例1 机房内有两台设备，令X表示某时间内发生故障的设备数，并知P{X=0}=0.5， P{X=1}=0.3，P{X=2}=0.2，求X的分布函数F（χ）。 解：由于X的可能取值为0，1，2故应分情况讨论：

（1） 当χ<0时，F（χ）=P{X≤χ}=0

（2） 当0≤χ<1时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}=0.5

（3） 当1≤χ<2时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}=0.5+0.3=0.8

（4） 当χ≥2时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=1

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总之，

例2 向一半径为2米的圆形靶子射击，假设击中靶上任何一同心圆的概率为该同心圆的面积成正比，且每次射击必中靶。令X表示弹着点到靶心距离，求X的分布函数F（χ）。

解： 当χ<0时，F（χ）=P{X≤χ}=0

当0≤χ≤2时，F（χ）=P{X≤χ}=P{击中半径为χ的同心圆}=λπχ2

特别，当χ=2时，1=F{2}=λπ4，解得λ=1/4π，代入上式便得

当χ>2时，F（χ）=P{X≤χ}=1

性质 1。F（χ）是单调不减的，即对任意χ1<χ2，有 F（χ1）≤F（χ2）；

2。0≤F（χ）≤1且F（-∞）=0，F（+∞）=1；

3。F（χ）为右连续的，即对任意χ，有F（χ+0）= F（χ）。 可以证明（略）以上三条性质是分布函数所具有的三条基本共同特性。 利用分布函数可求随机变量落在某些区间上的概率，如

等等。

例3在前面打靶的例子中，已知X表示弹着点到靶心距离，并求得其分布函数为

于是便可以利用此分布函数，求出击中靶上环形区域（见图）的概率

随机变量分类：

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二 离散型随机变量及其分布律

§1离散型随机变量及其分布律的概念

定义：如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量。

设X的所有可能取值为χ1，χ2，……χn，……，则称下列一组概率

X χ1 χ2 …… χn …… P{X=χi}=ρi，i=1,2,……，n,…… 为X的分布律。分布律也常常写成表p …… …… 格形式

性质： 1。pi≥0,一切I； 2。

例1 设袋中装着分别标有-1，2，2，2，3，3数字的六个球，现从袋中任取一球，令X表示取得球上所标的数字，求X的分布律。

解： X的可能取值为-1，2，3，且容易求得

故X的分布律为

例：相同条件下，独立的向目标射击4次，设每次击中目标的概率为0.8，求击中目标次数X的分布律

解： X的可能取值为0，1，2，3，4利用二项概率公式便可求得

X的分布律为

X 0 1 2 3 4 p 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096 X p -1 1/6 2 1/2 3 1/3 第 3 页 @kaiziliu

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例2 社会上定期发行某种奖券，每券一元，中奖率为p，某人每次买1张奖券，如果没有中奖便继续买一张，直到中奖为止。求该人购买奖券次数X的分布律。如果中奖率为1%，问他至少应买多少张奖券才能以不少于99%的概率中奖。 解：（1） 令Ai={第i次购买的奖券中奖}，i=1,2,……

X的分布律为 X p 即

即

1 p 2 (1-p)p 3 (1-p)2p …… …… i （1-p）i-1p …… …… （2）设n为所需购买的奖券数，按题意P{X≤n}≥99%

例4 某产品40件，其中有次品3件，现从中任取3件，（1）求取出的3件产品中所含次品

数X的分布律；（2）求取出产品中至少有一件次品的概率；（3）求出X的分布函数F

（x），并作其图形。 解：（1）X的可能取值为0，1，2，3，且有

（2）任取3件产品中至少含有一件次品的概率为

P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.2022+0.0112+0.0001=0.2135或 P{X≥1}=1－P{X＜1＝1－P{X=0}=1－0.7865=0.2135

（3）由分布函数定义不难求得X的分布函数为

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X P 0 0.7865 1 0.2022 2 0.0112 3 0.0001 概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电）

离散型随机变量其分布函数的图形有如下特点：

(1)阶梯形；（2）仅在其可能取值处有跳跃；（3）其跃度为此随机变量在该处取值的概率。 一般，若X的分布律为P{X=χi }=pi ,i=1,2,……，则X落在区间I内的概率便为

从而，X的分布函数与分布律的关系便为

§2几个重要分布

1.两点分布 如果随机变量X的分布律其中0

X 0 1 为

的(0－1)两点分

p q p 布,简称为两点分布,记为X~B(1,p) 实际背景:在贝努里实验中,设事件A的概率为p(0

显然X的分布律为 即 X~B(1,p)

X 0 1 p q p q=1-p

例5 .一批产品的废品率为5%，从中任取一个进行检查，若令X表示抽得废品的数目，即 律为

2.二项分布 如果随机变量X的分布律为

＜1, q=1－p,则称X服从参数为（n,p）的二项分布，记为X~B（n,p）

实际背景：由第一章，独立重复实验一段中可知，在n重贝努里实验中，如果每次实验事件A出现的概率为p(0

例6 某工厂每天用水量保持正常的概率为

，求最近6天内用水量正常天数X的分布律，

），

于是，在此n 重贝努里实验中，如果定义随机变量X表示事件A出现的次数，

即X~B(n,p)

其中0＜p

则X~B(1,5%)即X的分布

X p 0 95% 1 5% 并求用水量正常天数不少于5天的概率。解：由二项分布实际背景可知X~B（6，于是

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