第二章 传感器的特性(2)

? 一阶环节

? 二阶环节 ? 2．传递函数

? 动态特性的传递函数在线性或线性化定常系统中是指初始条件为0时，系统输出量的拉氏变

换与输入量的拉氏变换之比。

? 当传感器的数学模型初值为0时，对其进行拉氏变换，即可得出系统的传递函数

? Y(s)——传感器输出量的拉氏变换式； ? X(s)——传感器输入量的拉氏变换式。

? 上式分母是传感器的特征多项式，决定系统的“阶”数。可见，对一定常系统，当系统微分方程已知，只要把方程式中各阶导数用相应的s变量替换，即求出传感器的传递函数。 ? 将各种频率不同而幅值相等的正弦信号输入传感器，其输出正弦信号的幅值、相位与频率之间的关系称为频率（频域）响应特性。

? 正弦输入下传感器的动态特性（即频率特性）由传递函数导出：

? 式中， 称为传感器的频率响应函数。它将传感器的动态响应从时域转换到频域，表示输出信号与输入信号之间的关系随着信号频率而变化的特性，故称为传感器的频率响应特性，简称频率特性或频响特性。它的物理意义是：当正弦信号作用于传感器时，在稳定状态下的输出量与输入量之复数比。在形式上它相当于将传感器传递函数模型式中的s置换成（jω），因而又称为频率传递函数。

? 为一复数，它可用代数形式及指数形式表示，即 ?

? 式中 —分别为 的实部和虚部； ? —分别为 的幅值和相角；

? 可见，K值表示了输出量幅值与输入量幅值之比，即动态灵敏度，或称为传感器的增益，K值是ω的函数，称为幅频特性，以K(ω)表示。（实际上 都是ω的函数） ? 用传递函数H(s)作为动态模型来描述传感器的动态响应特性具有下列特点：

? （1）传递函数H(s)反映的是传感器系统本身的特性，只与系统结构参数ai、bi有关，而与输入量x(t)无关。因此，用传递函数H(s)可以简单而恰当地描述传感器的输入-输出关系。 ? （2）对于传递函数H(s) 描述的传感器系统，只要知道X(s)、Y(s)、H(s)三者中任意两者，就可方便地求出第三者。只要给系统一个激励信号x(t)，便可得到系统的响应y(t)，系统的特性就可被确定，而无需了解复杂系统的具体内容。

? （3）同一个传递函数可能表征着两个或多个完全不同的物理系统，说明她们具有相似的传递特性。但不同的物理系统有不同的系数量纲，即通过系数ai和bi（i=0，1，2，?，n；j=0，1，2，?，m）反映出来。

? （4）对于多个环节串、并联组成的传感器系统，如各环节的阻抗匹配适当，可忽略相互之间的影响，则传感器的等效传递函数可按代数方程求解而得。 ? 由n个环节串联而成的传感器系统，其等效传递函数为： ? 由n个环节并联而成的传感器系统，其等效传递函数为：

? 由此可见，对于多环节的传感器测量系统，用传递函数来描述其输入-输出关系，很容易看清各环节对系统的影响，便于对测量系统进行改进。

? （5）当传感器比较复杂或传感器基本参数未知时，可通过实验求出传递函数。 ? 二、零阶传感器

? 在零阶传感器中，只有a0与b0两个系数，微分方程为

? K——静态灵敏度

? 这时，传感器的传输函数 ，频率特性

? 零阶传感器（系统）的输入量无论随时间如何变化，其输出量总是与输入量成确定的比例关

系，在时间上也不滞后，幅角等于零，即零阶传感器是比例传感器，它的性能由静态灵敏度K表征并维持恒定不变，而不管输入x(t)怎样变化或频率如何，是理想无失真（传感）系统，因此，传感器的动态误差和延迟两者皆为零。

诸如 所示的输入-输出关系要求传感器不包含任何储能元件。例如用来测量线性位移和旋转位移的电位器型传感器。在实际应用中，许多高阶系统在变化缓慢、频率不高时，都可以近似地当作零阶系统处理。

像这样的模型终究是理想化的数学抽象，而实际中做到是十分困难的。应用过程中存在一些缺陷无法完全消除。例如，对于电位器，由于滑动片的摩擦而不能将其用于快速移动的场合。 三、一阶传感器的动态特性

微分方程除系数a1，a0 ，b0外其他系数均为0，则

? ? ? ?

? →

? τ—传感器系统的时间常数（τ= a1/a0） ? K——静态灵敏度（K= b0/a0） ? 1．一阶传感器的阶跃响应

? 为了便于分析传感器的动态误差，引入“相对动态误差”，按下式计算：

? 式中 ——传感器的稳态输出，

? 一阶传感器动态误差是时间的函数，随着时间呈指数衰减。时间常数τ决定了一阶传感器的

? ? ? ?

动态性能指标。对于传感器的实际输出特性曲线，可以选择几个特征时间点作为其时域动态性能指标。如输出y(t)由零上升到稳态值ys的63%所需的时间称为“时间常数τ”；输出y(t)由零上升到稳态值ys的一半所需的时间定义为“延迟时间td”。此外还有“上升时间”、“响应时间”等。

2．一阶传感器的频率响应

由于线性传感器中静态灵敏度K为常数，在动态分析中只起使输出量增加K倍的作用。因此，为方便起见，在讨论任意阶传感器时都采用K= b0/a0=1。这样，灵敏度归一化后，一阶传感器的微分方程可改写为 相应地： 传递函数：

? 频率响应特性： ? 幅频特性：

? 相频特性：

? 一阶传感器对正弦周期输入信号的响应与输入信号频率密切相关。频率较低时，传感器的输

出在幅度值和相位上能较好地跟踪输入量；反之，当频率较高时，其输出就很难跟踪，出现较大的幅度衰减和相位滞后。因此就必须对输入信号的工作频带范围加以限制。

? 通常对一阶传感器用通频带 或-3dB带宽表示。工作频带 是指归一化幅值误差小于所

规定的允许误差 时，幅频特性所对应的频率范围。

? ? ? ?

由 可得

一般工作频带均小于-3dB带宽。

提高一阶传感器工作频带的有效途径是减小时间常数。

例：设计一个无外壳的温度传感器（一阶动态响应）用于测量起伏达100Hz的湍流，要求动态误差维持小于5?，试设计传感器的时间常数。 ? 解：由上式得

? rad/s， ?

? 则有 ，即要求要用小时间常数的温度传感器。

?

四、二阶传感器动态特性 ? 1．二阶传感器的阶跃响应

? 1）0＜ξ＜1（有阻尼）：该特征方程具有共轭复数根

? ω0——传感器的固有频率；ξ——传感器的阻尼比 ? 上升时间：

? 过冲量（超调量）：

? 稳定时间（响应时间）：

? （设允许相对误差 ）

? 2)ξ=0（零阻尼）：输出变成等幅振荡，即：

? 3)ξ=1（临界阻尼）：特征方程具有重根-1/τ，过渡函数为

? 4）ξ>1（过阻尼）：特征方程具有两个不同的实根

? 上两式表明，当ξ≥1时，该系统不再是振荡的，而是由两个一阶阻尼环节组成，前者两个时间常数相同，后者两个时间常数不同。

? 实际传感器，ξ值一般可适当安排，兼顾过冲量δm不要太大，稳定时间tω不要过长的要求。在ξ＝0.6～0.7范围内，可获得较合适的综合特性。对正弦输入来说，当ξ=0.6～0.7时，幅值比k(ω)/k在比较宽的范围内变化较小。计算表明在ωτ＝0～0.58范围内，幅值比变化不超过5％，相频特性中υ(ω)接近于线性关系。

? 对于高阶传感器，在写出运动方程后，可根据具体情况写出传递函数、频率特性等。在求出

特征方程共轭复根和实根后，可将它们分解为若干个二阶模型和一阶模型研究其过渡函数。有些传感器可能难于写出运动方程，这时可采用实验方法，即通过输入不同频率的周期信号与阶跃信号，以获得该传感器系统的幅频特性、相频特性与过渡函数等。 ? 2．二阶传感器的频率响应

? 二阶传感器包含两个储能元件和一些耗能元件。如由质量、弹簧和阻尼器构成的加速度传感器，由可变电感、电容和匹配电阻构成的位移传感器，均为经典的二阶系统。还有很多振动传感器、压力传感器等都属于二阶传感器。

? 二阶传感器的输入x(t)和输出y(t)由二阶微分方程相联系 ? —时间常数；

? ω0=1/τ—自振角频率（固有频率）

? —阻尼比（阻尼系数，阻尼因数）； ? k—静态灵敏度，k=b0/a0

? 注意，上述二阶传感器动态特性指标与静态灵敏度k、固有频率ω0和阻尼系数ξ有关，但是三个参数相互联系，其中一个参数变更时另外两个参数也要改变，只有 是独立的。 ? 传递函数：

? 频率特性：

? 幅频特性：

? 相频特性：

第二章 传感器的特性

? 由图可见，阻尼比对频率特性的影响较大。

? 当ξ→0时，在ωτ=1处k(ω)趋近无穷大，这一现象称之为谐振。 ? 随着ξ的增大，谐振现象逐渐不明显。

? 当ξ≥0.707时，不再出现谐振，这时H(ω)将随着ωτ的增大而单调下降。

? 对于正弦输入来说，当ξ=0.6~0.707时，幅值比 在比较宽的范围内变化较小。计算表明在 范围内，幅度特性变化不超过5?，动态灵敏度误差不超过5?，相频特性 接近于线性关系，即群延时接近常数，可以忽略对周期性输入产生的非线性相位失真。

? 通过上面的分析可以得出结论：为使测试结果能精确地再现被测信号的波形，在传感器设计时，必须使其阻尼系数ξ<1，固有频率至少应大于被测信号频率ω的3~5倍。

?

五、传感器的动态特性指标

? 尽管大多数传感器的动态特性可近似用一阶或二阶系统来描述（仅仅是近似的描述而已），实际的传感器往往比简化的数学模型要复杂。因此，传感器的动态响应特性一般并不是直接给出其微分方程或传递函数，而是通过实验给出传感器的动态特性指标，通过这些动态特性指标来反映传感器的动态响应特性。

? 研究传感器的动态特性主要是为了分析测量时产生动态误差的原因，传感器的动态误差包括两部分：一是输出量达到稳定状态后与理想输出量之间的差别；二是当输入量跃变时，输出量由一个稳态到另一个稳态之间的过渡状态中的误差。研究传感器的动态特性，实际上就是分析传感器的这两种动态误差。

? 要分析动态误差，首先要给出输入量，在实际测试中，输入量总是千变万化的，往往事先并不知道。在工程上解决的办法是，选定几种最典型、最简单的输入函数，我们称为标准信号，将其代入传感器的典型环节中来研究传感器的响应特性。常用的输入标准信号有阶跃函数、正弦函数、指数函数及冲激函数（δ函数）等。其中阶跃函数和正弦函数既易于实现，又便

?

? ? ? ? ? ? ? ? ?

于求解，因此是研究传感器动态特性时最常用的输入信号。

以阶跃信号函数作为输入信号研究传感器动态特性的方法称为阶跃响应法，也叫时域的瞬态响应法；而采用正弦信号作为输入信号研究传感器动态特性的方法称为频率响应法，即从时域和频域两方面来传感器的动态误差，给出其动态特性指标。传感器动态特性的分析及标定都以这两种输入为依据。当采用正弦输入作为评价依据时，一般使用幅频特性与相频特性进行描述，评价指标为频带宽度，简称带宽，即传感器输出增益变化不超出某一规定分贝值的频率范围。相应的方法称为频率响应法。当采用阶跃为评价依据时，常用上升时间、响应时间、过调量等参数来综合描述。相应的方法称为阶跃响应法。 1．时域性能指标

（1）时间常数τ：输出值由零上升到稳定值 的63.2?所需的时间。 （2）上升时间Tr：输出值从稳定值 的10?上升到90?所需的时间。

（3）响应时间Ts：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过 ?（2?或5?）所需的时间。 （4）超调量δm：响应曲线第一次超过稳态值之峰高，即 （yc为稳态值）或用相对值

（5）峰值时间TP：响应超过稳态值，达到第一个峰值所需的时间。 （6）延滞时间Td：响应曲线达到稳态值50?所需的时间。 （7）衰减率ψ：相邻两个波峰（或波谷）高度下降的百分数

（8）稳态误差ess：无限长时间后传感器的稳态输出值与目标值之间的偏差δss的相对值

? 上述一阶、二阶传感器时域响应的主要指标，对具体传感器并非每一个指标都要给出，往往? ? ? ?

只要给出被认为是重要的性能指标就可以了。 2．频域性能指标

由于相频特性与幅频特性之间有一定的内在关系，因此表示传感器的频响特性及频域性能指标时主要用幅频特性。

（1）截止频率、通频带和工作频带

幅频特性曲线越出确定的公差带所对应的频率，分别称为下截止频率和上截止频率，相应的频率区间称为传感器的通频带。一般规定对数幅频特性曲线上幅值衰减3dB时所对应的频率范围作为通频带。这对传感器来说显得过大，一般取幅值误差为5?~10?时所对应频率范围，称为工作频带。

? ?

（2）谐振频率和固有频率

? 幅频特性曲线在某一频率处有峰值，这个频率就是谐振频率ωr。固有频率ω0是指在无阻尼时，传感器的自由振荡频率。ωr表征瞬态响应的速度，ωr的值越大，时间响应速度越快。 （3）幅值频率误差δ和相位频率误差υ

? 当传感器测量随时间变化的周期信号时，则必须求出传感器所能测量周期信号的最高频率ωP，以保证在ωP范围内，幅值频率误差δ和相位频率误差υ不超过给定数值。

? 第三节 传感器的其它性能指标

? ?

1．传感器的互换性

传感器的互换性是指一个传感器可以完全代替另一个传感器，而它的机械尺寸、各项性能指标不需重新校准就可以满足使用要求，更换后误差不会超过原来的范围；即传感器的功能、尺寸具有完全的互换能力。需要特别注意的灵敏度?y/?x（对线性传感器）或dy/dx（对非线性传感器） 2．可靠性

可靠性的经典定义为：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。 具体到传感器其可靠性的评价主要包括两方面的内容： （1）耐环境能力：绝缘电阻、疲劳性能、耐压等

? ? ? ?

? （2）寿命评估：工作寿命、平均无故障时间等 ? 3．电磁兼容（EMC）

? 电磁兼容性（Electromagnetic Compatibility，EMC）一词在中国国家标准GB/4763-1995《电? ? ? ? ? ? ?

磁兼容术语》中的定义是“设备或系统在电磁环境中能正常工作，且不对该环境中的任何事物构成不能承受的电磁骚扰的能力”。 4．环境参数指标

（1）温度指标：工作温度范围，存储温度、温度误差、温度漂移、温度系数、热滞后等（2）抗冲击、振动指标：容许的冲击、振动频率、振幅、加速度等 （3）其它环境参数：抗潮湿、抗腐蚀等 5．其它指标

（1）供点电：交直流、频率、功率、电压范围等 （2）外形尺寸、质量、壳体材质、结构特点等 （3）安装方式、馈线电缆等

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