高考数学专题04恒成立问题(2)

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1?2∴当x??当x???,e?时，f'?x??0，f?x?单调递增，?e,e??时，f'?x??0，f?x??e?单调递减．

∴f?x?max?f?e??2，∴1?f?e??2，∴0?a?e．

eae2

e?故实数a的取值范围是??0,?．故选A．

?2?1,?时，5．已知函数f?x??x2ex，当x???1不等式f?x??m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

1?,??A．? ???e?1?B．??,???

?e?C．?e,??? D．?e,???

【答案】D

【解析】若m?f?x?恒成立，则m?f?x?max，f'?x??2xex?x2ex?x?x?2?ex， 所以f?x?在??1,0?单调递减，在?0,1?单调递增．f??1??1，f?1??e，所以

em?e．

故选D．

6．当x???2,1?时，不等式ax3?x2?4x?3?0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．??5,?3? 【答案】C

x2?4x?3【解析】x???2,0?时，恒成立不等式等价于a?，

x3?x2?4x?3??a???， 3x??min9??6,?B．???

?8?C．??6,?2? D．??4,?3?

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设

x2?4x?3，f?x??x3'?f?x??x3?2x?4??3x2?x2?4x?3?x6?x?9??x?1??x2?8x?9???x4x4，

x???2,0?，?f?x?在??2,?1?单调递减，在??1,0?单调递增，?f?x?min?f??1???2，

当x?0时，可知无论a为何值，不等式均成立，

?x2?4x?3?x2?4x?3当x??0,1?时，恒成立不等式等价于a?，?a???， 3xx3??max同理设

?x?9??x?1?x2?4x?3'?fx??，，?f?x?在?0,1?单调递增， ??f?x??x4x3?f?x?max?f?1???6，?a??6，综上所述：a???6,?2?．故选

C．

7．函数

exf?x???1?x2，若存在x0??0,2?使得m?f?x0??0成立，则实数m的

范围是（ ）

12?A．???e,???

?5?B．??1,??? C．?1,???

1?D．???e,???

?2?

【答案】A

【解析】若存在x0??0,2?使得m?f?x0??0成立，则在x0??0,2?内f?x?min?m即可，

exf?x???1?x2，f??x???ex?1?x2??ex?2x?1?x?22??ex?x?1?2?1?x?522?0，

11故f?x?在?0,2?上单调递减f?x?min? f?2???e2，?m??e2，故选A．

58．设函数f?x??lnx?ax，若存在x0??0,???，使f?x0??0，则a的取值范围是（ ）

1?A．???,1?

?e?1?B．????,?

?e?C．??1,???

1?D．???,???

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【答案】D

【解析】f?x?的定义域是?0,???，f??x??1?a?1?ax，

xx当a?0时，f??x??0，则f?x?在?0,???上单调递增，且f?1??a?0， 故存在x0??0,???，使f?x0??0；

当a?0时，令f??x??0，解得0?x??1，令f??x??0，解得x??1，

aa1???1??f?x?在?0,??上单调递增，在??,???上单调递减，

a???a?1?1??1??f?x?max?f????ln????1?0，解得a??．

e?a??a?1?综上，a的取值范围是???,???．故选D．

?e?9．若对于任意实数x?0，函数f?x??ex?ax恒大于零，则实数a的取值范围是（ ） A．???,e? 【答案】D

【解析】当x?0时，f?x??ex?ax?0恒成立，?若x?0，a为任意实数，

f?x??ex?ax?0恒成立，

B．???,?e? C．?e,??? D．??e,???

若x?0时，f?x??ex?ax?0恒成立，

ex即当x?0时，a??xex恒成立，设g?x???xxexx?ex?1?x?e，则g??x???2?xx2，

当x??0,1?时，g??x??0，则g?x?在?0,1?上单调递增， 当x??1,???时，g??x??0，则g?x?在?1,???上单调递减，

?当x?1时，g?x?取得最大值为?e．

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则要使x?0时，f?x??ex?ax?0恒成立，a的取值范围是??e,???，故选D． 10．已知函数f?x??a?x?a??x?a?3?，g?x??2x?2，若对任意x?R，总有

f?x??0或g?x??0成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．???,?4? 【答案】B

B．??4,0? C．??4,0? D．??4,???

【解析】由g?x??2x?2?0，得x?1，故对x?1时，g?x??0不成立， 从而对任意x?1，f?x??0恒成立，

因为a??x?a???x?a?3??0，对任意x?1恒成立，

?a?0 ，计算得出?4?a?0．故选如图所示，则必有??a?1??a?3?1?B．

11．已知函数

fxfxex当x2?x1时，不等式?1???2??0f?x???ax，x??0,???，

x2x1x恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．???,e?

【答案】D

fxfxxfx?xfx【解析】不等式?1???2??0，即1?1?2?2??0，

x2x1x1x2B．???,e?

e???,C．???

?2?e???,D．???

?2?结合x2?x1?0可得x1f?x1??x2f?x2??0恒成立，即x2f?x2??x1f?x1?恒成立，

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构造函数g?x??xf?x??ex?ax2，由题意可知函数g?x?在定义域内单调递增，

ex故g'?x??e?2ax?0恒成立，即a?恒成立，

2xex?x?1?ex令h?x???x?0?，则h'?x??，

2x22xx当0?x?1时，h'?x??0，h?x?单调递减；当x?1时，h'?x??0，h?x?单调递增；

e1e则h?x?的最小值为h?1???，据此可得实数a的取值范围为

2?12e?????,?．本题选择2??D选项．

12．设函数f?x??ex?3x?1??ax?a，其中a?1，若有且只有一个整数x0使得f?x0??0，则a的取值范围是（ ）

23?A．??,?

?e4?23?B．??,?

?e4?2?C．??,1?

?e?2?D．??,1?

?e?【答案】C

【解析】设g?x??ex?3x?1?，h?x??ax?a，则g??x??ex?3x+2?，

2?∴当x?????,??时，g'?x??0，g?x?单调递减；

?3?2??,???时，g??x??0，g?x?单调递增， 当x????3?2?2?2?∴当x??时，g?x?取得最小值g?????3e3．

3?3?如下图所示．

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