周周练(9) 答案

周周练（9） 答案

1. 解：（1）∵f?(x)?2x?2x?2(1?x)(1?x)x，x?0，

∴当0?x?1时，f?(x)?0，f(x)单调递增；当x?1时，f?(x)?0，f(x)单调递减。 ∴当x=1时，f(x)有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。

故f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,??)；最大值为-1，但无最小值。

?1???（2）方程2xlnx?mx?x3?0化为?m?2lnx?x2，由（1）知，f(x)在区间,e上

?e?的最大值为-1，f()??2?e11e2，f(e)?2?e2，f(e)?f()。

e11∴f(x)在区间,e上的最小值为?2?2。

?e?e??故?m?2lnx?x2在区间,e上有两个不等实根需满足?2?2??m??1，

?e?e??∴1?m?2?1e2?1??1?1，∴实数m的取值范围为?1,2??2x?1?。 2?e?（3）∵g?(x)??2x?a，又f(x)?ax?0有两个实根x1,x2，

2??2lnx1?x1?ax1?0,2∴?两式相减，得2?lnx1?lnx2???x12?x2??a?x1?x2? 2??2lnx2?x2?ax2?0.∴a?2?lnx1?lnx2?x1?x2/??x1?x2?,?x1?0,x2?0?

2?lnx1?lnx2?x1?x2 于是g?px1?qx2??2px1?qx22px1?qx2?2?px1?qx2??2?lnx1?lnx2?x1?x2?(x1?x2)

=???2p?1??x2?x1?.

∵q?p,∴2q?1,∵2p?1,∴(2p?1)?x2?x1??0。 要证：g/?px1?qx2??0，只需证：

x2?x1px1?qx2?lnx1x22px1?qx2?2?lnx1?lnx2?x2?x1?0.

只需证：?0. (＊)

令

x1x2?t??0,1?，∴(＊)化为

1?tpt?1?lnt?0

只证u(t)?lnt?1?tpt?q?0即可.

2u/?t??21t???pt?q???1?t??p?pt?q?2=?t11?pt?q?2??pt?q??t 2t?pt?q?2?q?p?t?1??t?2?p?q2?=,2?1,0?t?1, 2pt?pt?q?∴t?1?0. ∴u/?t??0,∴u?t?在?0,1?上单调递增，∴u?t??u?1??0

1?tpt?q?0.

∴u?t??0，∴lnt?即：

x2?x1px1?qx2?lnx1x2?0.

∴g/?px1?qx2??0.

2. 解：（1）f?(x)?x2?4x?3，则f?(x)?(x?2)2?1??1，

即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是??1,???；------------4分 k??1??（2）由（1）可知，?1---------------------------------------------------------6分

???1??k22解得?1?k?0或k?1，由?1?x?4x?3?0或x?4x?3?1

得：x???,2??2?(1,3)?2???2,??；-------------------------------9分

?（3）设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2,y2)，

x1?x2，

则切线方程是：y?(x1?2x1?3x1)?(x1?4x1?3)(x?x1)，

31322 化简得：y?(x1?4x1?3)x?(?223x1?2x1)，--------------------------11分

32

而过B(x2,y2)的切线方程是y?(x2?4x2?3)x?(? 由于两切线是同一直线，

223x2?2x2)，

32 则有：x1?4x1?3?x2?4x2?3，得x1?x2?4，----------------------13分 又由? 即? ?132323x1?2x1??2322223x2?2x2，

232(x1?x2)(x1?x1x2?x2)?2(x1?x2)(x1?x2)?0

222(x1?x1x2?x2)?4?0，即x1(x1?x2)?x2?12?0

22 即(4?x2)?4?x2?12?0，x2?4x2?4?0

得x2?2，但当x2?2时，由x1?x2?4得x1?2，这与x1?x2矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分 3. （Ⅰ）由条件an＋1＝2an＋2an， 得2an＋1＋1＝4an＋4an＋1＝(2an＋1)．∴{bn}是“平方

递推数列”．∴lgbn＋1＝2lgbn．∵lg(2a1＋1)＝lg5≠0，∴为等比数列．

（Ⅱ）∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴lg(2an＋1)＝2

n－1

2

2

2

lg(2an+1＋1)

＝2．∴{lg(2an＋1)}

lg(2an＋1)

2n－1

?lg5，∴2an＋1＝5

12n－1

，∴an＝(5－1)．

2

lg5?(1－2n)n

∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋?＋lg(2an＋1)＝＝(2－1)lg5．

1－2∴Tn＝5

2n－1

．

(2n－1)lg52n－1lgTn1?n－1?（3）cn＝＝n－1＝n－1＝2－??，

lg(2an＋1)2lg5221?1?21?n－1?∴Sn＝2n－[1＋＋＋?＋

?2?]＝2n－2?2?

1?n?1－??21－

2

1?n1?n??＝2n－2[1－

?2?]＝2n－2＋2?2?． 1

1?n?1?n＞1005， 由Sn＞2008得2n－2＋2?＞2008，n＋

?2??2?

1?n1?n??当n≤1004时，n＋??＜1005，当n≥1005时，n＋??＞1005，∴n的最小值为1005． 224. 解：（Ⅰ）由已知得f(x)的定义域为（0，+∞），且f'(x)?当a?0时，f(x)的单调增区间为（0，

1a1x?a,

），减区间为（,??）；

a1当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间； ……………4分 （Ⅱ）g(x)?x?23x22[m?2f'(x)]?x?(3m2?a)x?x,

2?g'(x)?3x?(m?2a)x?1,

?g(x)在区间（a,3）上有最值，?g(x)在区间（a,3）上总不是单调函数，

又g'(0)??1???g'(a)?0?g'(3)?0 …………………6分

由题意知：对任意a?[1,2],g'(a)?3a2?(m?2a)?a?1?5a2?ma?1?0恒成立，

?m?1?5aa2?1a?5a，因为a?[1,2]，所以m??192，

323对任意，a?[1,2]，g'(3)?3m?26?6a?0恒成立，?m????323?m??192

…………………9分

（Ⅲ）令a=1此时f(x)?lnx?x?3,由（Ⅰ）知f(x)?lnx?x?3在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x?(0,??)时f(x)?f(1)，

?lnx?x?1对一切x?(0,??)成立，?ln(x?1)?x对一切x?(0,??)成立，

?n?2,n?N*,则有ln(1n2?1)?1n1n22, …………………12分

122?ln(122?1)?ln(132?1)???ln(?1)??132???1n2?11?2?12?3???1(n?1)n

?(1?12)?(12?13)???(1n?1?1n)?1?1n?1………………14分

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