辅导第6讲大数定理和中心极限定理汇总(3)

fn(x)?n, ???x???,

?1?n2x21P试证 Xn???0,(n??) 。

证明 对任意?由于

?0，

P{|Xn|??}??|x|??fn(x)dx

?2??2??????fn(x)dx?2?1???ndx

?1?n2x21n?1du?0,(n??) ，

?1?u2P所以Xn???0,(n??) 。

例10 设随机变量Xn的概率密度为fn(x)?kn1(1?x)(1?|x|)21n,

???x???,

分布函数为Fn(x)，其中常数kn?0, 求limFn(x)。

n?? 解 由 由fn(x)的表达式 及?可知 kn?于是

????fn(x)dx?1 ，

2? ；

limfn(x)?n??1,x?02?1?x ，

1且是在(??,0)和(0,??)内是内闭一致收敛的；

0?fn(x)?又

n??x1?1?x2，

n????2所以limFn(x)?lim?xfn(t)dt??limfn(t)dt

??n??x??

1111xdt?arctant|?arctanx? 。 ?????1?t2??21例11设随机变量序列X1,X2,???,Xn,???独立同分布, 且存在有限的数学期望和方差

129

EX??,DX??ii2, (i?1,2,???)；

EXi2?DXi?(EXi)2??2??2，

1X??Xnni?1i1n，A2??Xi2，

ni?1n1Sn2??(Xi?X)2，

ni?1试证：（1）

PX????,(n??)；

P22A??????,(n??)； （2）2P22X????,(n??)； （3）

（4）Sn2P????2,(n??) 。

证明 利用贝努利大数定律可得（1）的结果；

直接利用辛钦大数定律可得（2）的结果；

22E|X??|?E|X??||X??| （3）

11 ?(E|X??|)(E|X??|)221222，

显然{(E|X??|)2}有界，

1E|X??|2?DX??2?0,(n??)，

n22E|X??|?0,(n??)， 于是

进而得

PX2????2,(n??)；

nn211222S??(Xi?X)?[?Xi?nX] （4）nni?1ni?121n2 ??Xi?X，

ni?1P???(?2??2)??2??2,(n??) 。

130

例12 设随机变量X1,X2,???,Xn,???独立同分布,且存在有限的数学期望和方差

EXk??,DXk??2?0, (k?1,2,???)

n2kXk, 记Yn??n(n?1)k?1P试证Yn????,(n??) 。

证明 由条件，可知

nn222n(n?1)EYn?kEX?k?????， ??kn(n?1)k?1n(n?1)k?1n(n?1)2nn22222DYn?()?kDXk?()?k2?2

n(n?1)k?1n(n?1)k?1?(2122n?12)2n(n?1)(2n?1)?2??，

n(n?1)63n(n?1)n??显然limDYn?0，

对任意

??0，成立

DYn1?P{|Yn??|??}?P{|Yn?EYn|??}?1?在上式中,令

n???2,

n??,即得

limP{|Yn??|??}?1，

P故得 Yn????,(n??) 。

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