考点专练(四十六)
一、选择题
1．(2011年安徽)双曲线2x－y＝8的实轴长是 A．2 C．4
解析：原式可化为：－＝1，
48∴a＝4，∴a＝2,2a＝4. 答案：C
2
2
2
( )
B．22 D．42
x2y2
x2y222
2．(2011年山东)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x＋y－6x＋5
ab＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为
A.－＝1 54C.－＝1 36
2
2
( )
x2y2x2y2
B.－＝1 45D.－＝1 63
x2y2x2y2
解析：圆C：标准方程(x－3)＋y＝4，圆心(3,0)，
∴双曲线右焦点(3,0)，令双曲线渐近线y＝±x与圆相切，则bx－ay＝0 ∴
|3b|
＝2，∴4a＝5b，∴选A.
2
2
baa＋b22
答案：A
3．(2012年山东潍坊二模)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C45的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则PF1·PF2等于
A．24 C．50
B．48 D．56 →
→
( )
x2y2
解析：如图所示，|PF2|＝|F1F2|＝6， 由双曲线定义可得，|PF1|＝10.
- 1 -
在△PF1F2中，由余弦定理可得， cos∠F1PF2＝
|PF1|＋|PF2|－|F1F2|
＝
2|PF1|·|PF2|10＋6－65
＝.
2×10×66
5
∴PF1·PF2＝|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝10×6×＝50.
6答案：C
4．(2012年东北四校高三模拟)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于→
→
→
→
2
2
2
2
2
2
A，B两点，设双曲线的左顶点为M，若△MAB是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为
3A. 2C.2
B．2 D.3
解析：如图所示，△AMF为等腰直角三角形，
b2
|AF|为|AB|的一半，|AF|＝.
a而|MF|＝a＋c，
b2
由题意可得，a＋c＝，
a即a＋ac＝b＝c－a，即c－ac－2a＝0.
两边同时除以a可得，e－e－2＝0，解之得，e＝2. 答案：B
5．(2012年大纲全国)已知F1、F2为双曲线C：x－y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝
1A. 43C. 4
解析：∵a＝b＝2，∴c＝2.
3B. 54D. 5
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- 2 -
?|PF1|－|PF2|＝22，由?
?|PF1|＝2|PF2|
|PF2|＝22，
得|PF1|＝42，
|PF1|＋|PF2|－|F1F2|3
由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.故选C.
2|PF1|·|PF2|4答案：C
222
x2y2
6．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物
ab线y＝24x的准线上，则双曲线的方程为
A.C.
－＝1
36108－＝1 10836
2
( )
x2y2
B.－＝1 927D.
－＝1 279
x2y2
x2y2x2y2
x2y2bb解析：∵双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，∴＝3.①
abaa∵抛物线y＝24x的准线方程为x＝－6， ∴－c＝－6. 又c＝a＋b.
由①②③得a＝3，b＝33.
∴a＝9，b＝27.∴双曲线方程为－＝1.
927答案：B 二、填空题
2
2
2
2
22
② ③
x2y2
y2x2
7．(2011年上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
m9
解析：m＋9＝25，∴m＝16. 答案：16
8．(2012年辽宁)已知双曲线x－y＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若
2
2
PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
?|m－n|＝2，则?2
2?m＋n2＝
2
2
2
2
，
解得mn＝2，
∴(m＋n)＝m＋n＋2mn＝8＋4＝12， ∴m＋n＝23，即|PF1|＋|PF2|＝23. 答案：23
- 3 -
x2y2π
9．(2012年甘肃兰州高三诊断)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为，离
ab3a2＋e心率为e，则的最小值为________．
bbπ
解析：由题意可得，k＝＝tan＝3，
a3
∴b＝3a，则a＝，∴e＝ 3
2
b2
b21＋2＝2. ab2
a2＋e3b2∴＝＝＋≥2
bb3b26答案： 3三、解答题
＋2
b226×＝. 3b3
x2y2
10．设A，B分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，
ab焦点到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝
3
x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，3
→→→
使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝23，∴一条渐近线为y＝x，
23即bx－23y＝0，∴
2
b|bc|
b2＋12
＝3，
∴b＝3，∴双曲线的方程为
x2
12
－＝1. 3
y2
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x－163x＋84＝0， 则x1＋x2＝163，y1＋y2＝12，
2
x43??y＝3，∴?xy??12－3＝1，
002
0
20
∴?
?x0＝43，?y0＝3，
∴t＝4，点D的坐标为(43，3)．
- 4 -
11．(2012年合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程； (2)求证：MF1·MF2＝0； (3)求△F1MF2面积．
解：(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x－y＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x－y＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝23， ∴F1(－23，0)，F2(23，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝，
3＋233－23
2
2
2
2
→→
mmkMF1·kMF2＝＝－.
9－123
2
2
m2m2
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m＝6，m＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2. ∴MF1·MF2＝0.
法二：∵MF1＝(－3－23，－m)，MF2＝(23－3，－m)， ∴MF1·MF2＝(3＋23)×(3－23)＋m ＝－3＋m，
∵M点在双曲线上，∴9－m＝6，即m－3＝0， ∴MF1·MF2＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝43，由(2)知m＝±3. ∴△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6. →
→
2
2
2
→→
→→
→→
2
y2x2
12．(2012年河南安阳三模)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋yab25
＝0，且顶点到渐近线的距离为. 5
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，→→
若AP＝PB，求△AOB的面积．
- 5 -
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