2013年长宁区高三数学一模试卷及参考答案（文理综合）(2)

（理） 已知函数f(x)?kx?m,当x?[a1,b1]时，f(x)的值域为[a2,b2]，当x?[a2,b2]时，f(x)的值

域为[a3,b3]，依次类推，一般地，当x?[an?1,bn?1]时，f(x)的值域为[an,bn]，其中k、m为常数，且a1?0,b1?1.

（1）若k=1，求数列{an},{bn}的通项公式；

（2）若m=2，问是否存在常数k?0，使得数列{bn}满足limbn?4?若存在，求k的值；若不存在，请说明理

n??由；

（3）若k?0，设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求(T1?T2???T2013)?(S1?S2???S2013).

文）设f(x)?x，等差数列?an?中a3?7，a1?a2?a3?12，记Sn=f3?31an?1，令bn?anSn，数列{}bn?的前n项和为Tn.

（1）求?an?的通项公式和Sn；（2）求证：Tn?1； 3（3）是否存在正整数m,n，且1?m?n，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由.

长宁区2012学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案 一、填空题（每小题4分，满分56分）

3 2、(2,2) 3、0.381 4、1 5、?4 6、（理）0，?i （文）?3i 417、bn?n 8、1?2 9、3?3 10、①③④

812110511、（理）V?S?R，（文）6? 12、（理）8，（文）6 13、（理）? ，（文）(?,?)

43321、

14、（理）①②③，（文）1

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、A 16、B 17、C 18、C 三、解答题

???219、解（1）由m?n?0得2cosx?23sinxcosx?y?0 ????3分

即y?2cosx?23sinxcosx?cos2x?3sin2x?1?2sin(2x?所以f(x)?2sin(2x?2?6)?1

?6)?1，其最小正周期为?． ????6分

（2）（理）因为f()?3，则[来源:学科网ZXXK]

A2A??6?2k???2,k?Z.因为A为三角形内角，所以A?443sinB，c?3sinC， 33?3????9分

法一：由正弦定理得b?b?c?434343432??sinB?sinC?sinB?sin(?B)?4sin(B?) 333336?1，?sin(B?)?(,1]，?b?c?(2,4]， 62所以b?c的取值范围为(2,4] ????12分 法二：a?b?c?2bccos222?3，因此4?(b?c)?3bc，

2(b?c)2(b?c)22因为bc?，所以4?(b?c)?，(b?c)2?16，

44?b?c?4.又b?c?2，所以b?c的取值范围为(2,4] ????12分

（文）（2）?0?x??3,??6?2x??6??15?,因此sin(2x?)的最小值为，????9分

266由a?f(x)恒成立，得a?[f(x)]min?2，

所以实数a的取值范围是(??,2). ???12分

20、解（1）连接OM，则OM?AB

?BC?3,?ABC?300,?AC?1,AB?2， ????3分

设OM?r，则

OB?2r，又OB?3?r，所以2r?3?r,r?所以，

3，????6分 3S球表?4?r2?4?. ????8分 3（2）V?V圆锥?V球?1453??AC2?BC??r3??.????12分 332721、（理）解（1）由题意：当0?x?20时，v(x)?60；

当20?x?200时，设v(x)?ax?b. ??????????2分

1?a??,??200a?b?0,?3 再由已知得?解得? ??????????4分[来源:学科网]

20020a?b?60.??b?.?3??60, 0?x?20,? 故函数v(x)的表达式为v(x)??1??????7分

(200?x), 20?x?200.?3??60x, 0?x?20,?（2）依题意并由（1）可得f(x)??1， ????9分

x(200?x), 20?x?200.??3 当0?x?20时，f(x)为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200； 当20?x?200时，f(x)?11x?(200?x)210000x(200?x)?[]?. 3323 当且仅当x?200?x，即x?100时，等号成立.

10000. ?12分 310000?3333. 综上，当x?100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值3 所以，当x?100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. ??????????14分

P(x)?（文）解：（1）

12500?40?0.05xx ???????????????3分

由基本不等式得P(x)?212500?0.05?40?90

12500?0.05xx当且仅当，即x?500时，等号成立 ????????6分

P(x)?∴

12500?40?0.05xx，成本的最小值为90元． ????????7分

（2）设总利润为y元，则

y?xQ(x)?xP(x)??0.1x2?130x?12500 ?????10分 ??0.1(x?650)2?29750

当x?650时,

ymax?29750 ????????????????????13分

答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．? ??14分

22、（理）解：(1)由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为[?1,1] ????2分 又f(x)2?2?21?x2?[2,4],由f(x)≥0 得值域为[2,2] ????4分

a22???f(x)?2?f(x)?a1?x?1?x?1?x ??2122令t?f(x)?1?x?1?x，则1?x?t?1，

21212∴F(x)?m(t)?a(t?1)+t=at?t?a,t?[2,2] ????6分

2212由题意知g(a)即为函数m(t)?at?t?a,t?[2,2]的最大值。

2112注意到直线t??是抛物线m(t)?at?t?a的对称轴。????7分

a2（2）因为F(x)?因为a<0时,函数y=m(t), t?[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

①若t??12?(0,2]，即a??则g(a)?m(2)?2 ????8分 a211121?(2,2]，即??a??则g(a)?m(?)??a?????10分 aa2a22②若t??③若t??11?(2,??)，即??a?0则g(a)?m(2)?a?2 ????11分 a2?a?2,?121?, ??a??, ????12分 综上有g(a)???a?2a22??2?2,a??2

a??12

（3）易得gmin(a)?2， ????14分 由?m2?2tm?2?g(a)对a?0恒成立，

即要使?m2?2tm?2?gmin(a)?2恒成立，????15分

?m2?2tm?0，令h?t???2mt?m2，对所有的t???1,1?,h?t??0成立，

?h(?1)?2m?m2?0只需?, ????17分 2?h(1)??2m?m?0求出m的取值范围是m??2,或m=0,或m?2. ????18分

（文）解：（1）当a?0时，f(x)??x，不合题意；?????1分

当a?0时，f?x?在???,?1?上不可能单调递增；?????2分

当a?0时，图像对称轴为x??由条件得?

（2）设h(x)?

当x?[1,2]时，x?

因为不等式

a?1， 2aa?1??1，得a??1. ?????4分 2af(x)1?a(x?)?a?1， ?????5分 xx15?[2,]， ?????7分 x2f?x?x?2在x??1,2?上恒成立，所以h(x)在x?[1,2]时的最小值大于或等于2，

??a?0??5a?0所以，? ， ?????9分 或?a?a?1?22a?a?1?2???2?

解得a?1。 ?????10分

（3）g(x)?ax?21?a在?2,3?上是增函数，设2?x1?x2?3，则g(x1)?g(x2)， xax1?2x?x2112?a?ax2??a，a(x1?x2)(x1?x2)?1，?????12分 x1x2x1x21， ?????14分

x1x2(x1?x2)因为2?x1?x2?3，所以a?

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