江西省临川一中2012届高三数学4月模拟考试 理[会员独享](2)

??10分

?E??0?1455?1?2855?2?1255?3?155?1． ??12分

18．解：（Ⅰ）证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA,BC,BB1两两垂直.

以BA,BB1,BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图．--------------2分 则B?0,0,0?,N?4,4,0?,B1?0,8,0?,C1?0,8,4?,C?0,0,4?．

z∴?????????BN?NB1??4,4,0????4,4,0???16?16?0，

CC1?????????BN?B1C1??4,4,0???0,0,4??0．------------4分 BB1y∴NB?NBBM1,BN?1C1. ANx又NB1与B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1NB1. -------------------6分 （Ⅱ）∵BN⊥平面C1NB1, ∴???????BN是平面C1B1N的一个法向量n1??4,4,0?, ------------8分

设???n2??x,y,z?为平面NCB1的一个法向量,

则?????????n2?CN?0???x,y,z???4,4,?4??0????????????x?y?z?0??x,y,z??4,?4,0?0?,

??n2?NB1?0?????x?y?0所以可取???n2??1,1,2?． ------------10分

则????????????cos?nn1?n4?41,n2?????2?????1?3|n1|?|n2|16?16?1?1?433．

∴所求二面角C－NB1－C1的余弦值为3． ------------12分

319．解：（Ⅰ）由a2a9?232与a4?a7?a2?a9?37

解得:?a2?8?a2?29??a9?29或??a9?8（由于an?1?an，舍去）

设公差为d，则?a?ad?8?a?5?21??1?a9?a1?8d?29 ,解得?d?3

用心 爱心 专心 6

所以数列?an?的通项公式为an?3n?2(n?N?)??????????????4分 （Ⅱ）由题意得:

bn?a2n?1?a2n?1?1?a2n?1?2???a2n?1?2n?1?1

?(3?2n?1?2)?(3?2n?1n?1?5)?(3?2n?1?8)???[3?2n?1?(3?2n?1?1)]

?2n?1?3?2?[2?5?8???(3?2n?1?4)?(3?2n?1?1)]??????????6分

而2?5?8???(3?2n?1?4)?(3?2n?1?1)是首项为2,公差为3的等差数列的前2n?1项的和,所以2?5?8???(3?2n?1?4)?(3?2n?1?1)

2n?1?2n?1?2?(2n?1?1)2?3?3?22n?3?14n?2

所以b?3?22n?2?3?22n?3?1?2n?9?22n?1?2n????????????10分

n484所以b?1?2n?9?22n

n48所以T?9(4?16?64???22n)?9?4(1?4)?3(4n?1)????????12分

n881?42??????????20．解（Ⅰ）由已知M(a,0)，N(0,b)， F2(c,0)，MN?MF2?(?a,b)?(c?a,0)?a2?ac??1，

n∵?NMF2?120?，则?NMF1?60?，∴b?3a，∴c?a2?c2?2a， 解得a?1，b?3，∴双曲线的方程为x?2y23?`1． 222222222 4分

（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y?kx?2，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

?3?k2?0,?22??16k?28(3?k)?0,??y?kx?2,??由?2y2得(3?k2)x2?4kx?7?0，则?x?x?4k?0,122?`1?x?k?3?3??7?x1x2?2?0,k?3?

解得3?k?7． ① 22222222222222222222 6分 ∵点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部，则HA?HB?0，

????????2HA?HB?(x1?7,y1)?(x2?7,y2)?(x1?7)?(x2?7)?y1y2?(1?k)x1x2?(7?2k)(x1?x2)?53????????

?(1?k)?27k?32?(7?2k)?4kk?32?53?7k?7?8k?28k?53k?159k?32222?0，解得k?2． ②

由①、②得实数k的范围是2?k?7， 2222222222222222 8分 由已知??S?AQHS?BQH?|AQ||BQ|，∵B在A、Q????????之间，则QA??QB，且??1，

用心 爱心 专心 7

4k?(1??)x?,22??k?3∴(x1,y1?2)??(x2,y2?2)，则x1??x2，∴?7??x2?,22?k?3?

则

(1??)2??167?k22k?3?167(1?23k?36472)， 222222222222222 10分

17???7∵2?k?7，∴4?(1??)??，解得，又??1，∴1???7．

故λ的取值范围是(1,7)． 22222222222222222222 13分 21．解 （Ⅰ）f?(x)??e?x?(?x)??e?x，函数h(x)?f?(x)?g(x)?xe?x，h?(x)?(1?x)?e?x，

当x?1时，h?(x)?0；当x?1时，h?(x)?0，故该函数在(??,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减．∴函数h(x)在x?1处取得极大值h(1)?（Ⅱ）由题1?e?x?xax?11e． 222222222 4分

xax?1?0，

在[0,??)上恒成立，∵x?0，1?e?x?[0,1)，∴

1x若x?0，则a?R，若x?0，则a??不等式1?e?x?xax?1恒成立，则a?0．

6分

恒成立等价于(ax?1)(1?e?x)?x?0在[0,??)上恒成立，

令u(x)?(ax?1)(1?e?x)?x，则u?(x)?a(1?e?x)?(ax?1)e?x?1，

又令?(x)?a(1?e?x)?(ax?1)e?x?1，则??(x)?e?x(2a?ax?1)，∵x?0，a?0． ①当a?0时，??(x)??e?x?0，则?(x)在[0,??)上单调递减，∴?(x)?u?(x)??(0)?0， ∴u(x)在[0,??)上单减，∴u(x)?u(0)?0，即f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立； 7分 ②当a?0时，??(x)??a?e?x(x?ⅰ）若2a?1?0，即0?a?122a?1a)．

时，??(x)?0，则?(x)在[0,??)上单调递减，

∴?(x)?u?(x)??(0)?0，∴u(x)在[0,??)上单调递减，∴u(x)?u(0)?0，此时f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立； 222222222222222222222222222 8分

ⅱ）若2a?1?0，即a?12时，若0?x?2a?1a时，??(x)?0，则?(x)在(0,)2a?1a)上单

调递增，∴?(x)?u?(x)??(0)?0，∴u(x)在(0,2a?1a上也单调递增，

∴u(x)?u(0)?0，即f(x)?g(x)，不满足条件． 222222222222 9分 综上，不等式f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立时，实数a的取值范围是[0,]． 10分

21（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a?2?x2?x*12时，则1?e?x?2?x2?xx12x?12?x2?x?e?x?2?x2?x，

4n?1当x?[0,2)时，e?x?∴lnn?2?4n?1?x?lnn，令

n?n，则x?2n?2n?1n?2?，

(n?N)，∴?lnk?2n?k?1?k?14k?1，∴ln(n!)?2n??k?14k?1， 12分

又由（Ⅰ）得h(x)?h(1)，即xe?x?1e，当x＞0时，ln(xe?x)?lnn(n?1)21e??1，∴lnx?x?1，

ln(n!)?ln2?ln3???lnn?1?2???(n?1)?，

用心 爱心 专心 8

nn综上得2n??4?ln(n!)?n?n22n?，即e?k?1k?14n(n?1)?n!?e2． 222222 14分

2用心 爱心 专心 9

k?1k?1

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