2013年江西省八所重点中学联合考试理数(3)

所以a?b?c?5．于是椭圆C1的方程为：

222x25?y24?1．…………2分

（2）设N（t,t2?1），由于y'?2x知直线PQ的方程为：

y?(t?1)?2t(x?t)． 即y?2tx?t?1．……………………………4分

22代入椭圆方程整理得：4(1?5t2)x2?20t(t2?1)x?5(t2?1)2?20?0,

??400t(t?1)?80(1?5t)[(t?1)?4]=80(?t?18t?3),

22222242x1?x2?5t(t?1)1?5t22 , x1x2?5(t?1)?204(1?5t)222,

故PQ?1?4t2x1?x2?1?4t.(x1?x2)?4x1x2

22 ?5?1?4t?2?t?241t8?21?5t3．………………………………6分

4设点M到直线PQ的距离为d，则d?5?t?11?4t22t??2152．……………7分

1?4t所以，?MPQ的面积S?12PQ?d?125?1?4t?2?t?18t?3242t??21521?5t 1?4t?510?t?18t?3?42510?(t?9)?84 ?2251084?1055…………12分

当t??3时取到“=”，经检验此时??0，满足题意．

综上可知，?MPQ的面积的最大值为

21．（1） ?f?(x)?x(1?a?ax)x?11055．…………………………13分

x?(?1,?? ) ?????? 2分

1a?1)，

若0?a?1，则f(x)的增区间是：(0,减区间是：(?1,0)和(1a?1,??) ?????3分

若a?1，则f(x)的减区间是(?1,??)，无增区间 ?????? 4分

（若a?1，则f(x)的增区间：

1a?1,0)，减区间是(?1,1a?1)和(0,??) ?? 5分若a?0，

f(x)的减区间是(?1,0)，增区间是(0,??)?????? 6分

（2）由（1）知：当a?0时，f(x)?f(0)?0，即x?ln(1?x)

即：x?1?lnx,x?(0,??)恒成立，???? （8分）

?1?1x?lnxx，当且仅当x?1时取“=”

lnn3111 ?????? （10分） ?3?1?(??…?)nn323313nln2 ??2ln3ln4??…?3412+13+114?n转化为证明：+…+1?5?55n6,(n?N) 用数学归纳法证明如下：

?当n?1时，左端??右端成立，

6611115假设当n?k(k?1)时，有???…?k?k成立

2343623?则当n?k?1时，? ?5k6?13?1k12k??1313?141?…?13k?113?1kk?…?5k6?133kk?1

?3k3?3k?5(k?1)6?…?13?312k2?3?14k?1?…?3?3 ?2?3k

ln22ln33??…n1n5??n? 对n?N均成立 36 即有：??ln44??ln33n?3?n5n?66(n?N)恒成立 ????（14分）

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