2016学年第一学期浙江省名校协作体试题 高三数学试题和答案(2)

（其他方法酌情给分）

（Ⅱ）由余弦定理及已知条件可得： a2?b2?ab?4 ?????????9分

由?a?b??a?b?2?4?3ab?4?342得a?b?4， ?????????13分

故?ABC周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到.???????15分

（其他方法酌情给分）

18.（本小题满分15分）（I）证明：在梯形ABCD中，

∵ AB//CD,AD?DC?CB?1，

∠ABC＝60?，∴ AB?2 ?????2分 ∴ AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cos60o?3

∴ AB2?AC2?BC2∴ BC⊥AC ????? 4分 ∵ 平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD?AC,BC?平面ABCD ∴ BC⊥平面ACFE ?????6分

（II）解法一：由（I）可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM??(0???3)，则C(0,0,0),A(3,0,0)，

B?0,1,0?,M??,0,1?

∴ AB??3,1,0,BM???,?1,1? ????8分 设n1??x,y,z?为平面MAB的一个法向量，

???n1?AB?0??3x?y?0由?得? ?n1?BM?0??x?y?z?0 取x?1，则n1?1,3,3??， ????10分 ∵ n2??1,0,0?是平面FCB的一个法向量 ∴

??????|n1?n2|????cos????|n1|?|n2|11?3??3???2??11???3?2??12分

?47， 7?71?1 当??3时，cos?有最大值。 ∴ cos???,? ?15分

272?? ∵ 0???3 ∴ 当??0时，cos?有最小值

解法二：①当M与F重合时，取FB中点为G，连结AG、CG

∵ AF?AC2?CF2?2,∴ AB?AF ∴AG⊥FB

高三数学 第6页 共4页

∵ CF?CB?1 ∴ CG⊥FB ∴ ∠AGC=?

∵ BC⊥CF ∴ FB?2 ∴CG?214,AG? 22CG2?AG2?AC27 ?cos?? ????8分 ?2CG?AG7②当M与E重合时，过B作BN//CF,且使BN?CF, 连结EN、FN，则平面MAB∩平面FCB＝BN, ∵ BC⊥CF，又∵AC⊥CF

∴ CF⊥平面ABC∴ BN⊥平面ABC ∴ ∠ABC＝?∴ ?=60?,

1∴ cos?= ?????10分

2③当M与E、F都不重合时，令FM??(0???3) 延长AM交CF的延长线于N,连结BN ∴ N在平面MAB与平面FCB的交线上 ∵ B在平面MAB与平面FCB的交线上 ∴ 平面MAB∩平面FCB＝BN

过C作CG⊥NB交NB于G ，连结AG，

由（I）知，AC⊥BC, 又∵AC⊥CN,∴ AC⊥平面NCB ∴ AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB，AC∩CG=C， ∴ NB⊥平面ACG ∴AG⊥NB ∴ ∠AGC=? 在?NAC中，可求得NC＝＝3，从而，在?NCB中，可求得CG3??o3???3?2∵ ∠ACG＝90

?3AC?CG?22 ∴ AG＝3?2??3?42?2???3?1

?3∴ cos??CG?AG???3??471?cos?? ???14分 72?71?综合①②③得，cos???,? ???15分

72??∵ 0???3 ∴ 19.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）因为P2,2，故

??42????2分 ??122ab

高三数学 第7页 共4页

?b2x2?a2y2?a2b2? 同时联立? 23x?2?y???42?232?22222x??ab得bx?a??????4分 ??4?2??

化简得?b2??21?39?a2?x2?a2x?a2?a2b2?0，由??0 8?2222x2y2??1； ?????????6分 由可得a?12,b?3，故椭圆C:123（其他方法酌情给分）

（Ⅱ）设A?x1,y1?，B?x2,y2?，直线AB方程为：y?kx?b

?x2?4y2?12222联立?得?4k?1?x?8kbx?4?b?3??0

?y?kx?b故x1?x2??由

8kb，x1x2??????????8分 221?4k1?4k

4?b2?3?25222?AB??1?k2??x2?x1???1?k2???x2?x1??4x1x2?

??4得b2?31?4k2???25?1?4k64?1?k222???????????10分

故原点O到直线AB的距离d?2b1?k2，所以S?b5 241?k

2625?2192?625?96?令u?1?4k2，则S2??u?u??u??????9

1?k1024?25?1024?25?22961?4k3S又因为u?， 当时，u??4??1,4??max251?k21?k2?9，??13分

当斜率不存在时，?AOB的面积为523； ?????????14分 8综合上述可得?AOB面积的最大值为3. ??????15分 20. （本小题满分15分）解：（Ⅰ）当a＝－1，x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x3＋x＋1，

从而f ′(x)＝－3x2＋1．当x＝1时，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，所以函数y＝f(x) (x∈[0，＋∞))的图象在

高三数学 第8页 共4页

x＝1处的切线方程为：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0．????????? 3分 （Ⅱ）f(x)＝g(x)即为ax3＋|x－a|＝x4．所以x4－ax3＝|x－a|，从而x3(x－a)＝|x－a|．

?x＞a，?x＜a，

此方程等价于x＝a或?或? ??????????????? 6分

?x＝1?x＝－1．

所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1； 当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；

当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1． ????????? 9分 （Ⅲ）当a＞0，x∈(a，＋∞)时，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，

所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．

102410241024

所以当x∈[a，a＋2]时，f(x)∈[f(a)，f(a＋2)]，∈[，]，

f(x)f(a＋2)f(a)

当x∈[a＋2，＋∞)时，f(x)∈[ f(a＋2)，＋∞)． ???????????? 11分 因为对任意的x1∈[a，a＋2]，都存在x2∈[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024， 10241024

所以[，]?[ f(a＋2)，＋∞)． ????????????? 13分

f(a＋2)f(a)1024从而≥f(a＋2)．

f(a＋2)

所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32． 因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．

所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}． ??????????? 15分

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