04-05春季工数试题及答案(2)

因为a0?f(x)dx??xdx?? ???002?2?an?2???0f(x)cos(nx)dx?2???xcos(nx)dx?02n?2[(?1)n?1]

?4,n?2k?1????n2??n?2k?0,k?1,2,?

所以f(x)?令x?0，

?2?1cos(2n?1)x ??n?0(2n?1)24?1?2?1???28n?0(2n?1)??2???2?1??21?24n?0(2n?2)?

1?2则?2?。所以?2??1??2?

24n6n?1?xn?yn8.设正数a与b的和为定值，求函数f(x,y)?的极值，并证明

2xn?ynx?yn?()（n为正正数）（5分） 22xn?yn??(x?y?c)。 证明： 令x?y?c，设 L(x,y,?)?2??cnn?1??x?2x???0??cn?n?1??y???0 ??y2??c?x?y?c?0????ccn解得：x?y?，所以f(x,y)有最小值n。并且

22cnx?ynf(x,y)?n?()。

229．一曲线通过原点O，其上任意点M的切线与横轴的交点为T，M点在横

轴的投影为P，三角形TMP的面积是曲边三角形OMP的面积的两倍，求曲线方程。（5分） 解：设曲线方程为y?f(x)，所以

切线方程为Y?y?f?(x)(X?x)。令Y?0，及P点横坐标

?y?x。所以 ?f(x)xx1y(x?(??x))y?2?f(x)dx?2?ydx

002f?(x)xy2?4?ydx

0y?2y(y?)2?y??y22???y?0，即 或。 ?yy?2(y)?4y2(y?)令y??p，则y???dpdpp，所以?py?2p2。 dydy即p?0或

dp?2?dy。 pyp?cy?2即

dy1?cy?2，y2dy?cdx，那么y3?c1x?c2。 dx3又因为y(0)?0，c2?0，则

y?cx。

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