面在点M处的法线与向径OM垂直。
四、（10分） 修建一座容积为V的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁
每单位面积的造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。
解：设仓库的长、宽、高分别为x、y、z,容积为V=xyz 。 设地上造价每单位面积为单位1，地上总造价为S1=2(xy+xz+yz),地下总造价为S=3xy+xy+2(2xz+2yz)=4(xy+xz+yz)，x>0,y>0,z>0
由条件极值，设F=4(xy+xz+yz)+λ(xyz-v),求偏导，令偏导为零得驻点：
(x0,y0,z0)??v,33v,3v 由问题的最小值存在，且在定义域内有唯一驻点，其即
?为所求。
五、（8分） 函数z?z(x,y)由方程F(x?yz,y?xz)?1所确定，其中F具有一
阶连续偏导数，求dz。
解：
dz?zxdx?zydy其中zx??F1?1?F2?zF1?y?F2?xzy??F1?z?F2?1F1?y?F2?x
2222六、（8分） 设?是由z?x?y及z?x?y所围的有界闭区域。计算
ex?yerI????2dv??d??dr?2rdz?2?(e?2)2r?x?y00r2。
22u?x?y七、（6分） 求函数在（1，1）点沿???4,?3?方向的方向导数。
222?1r?u114解：??2,?2???4,?3???l(1,1)55
八、（6分） 设u?u(x,y),v?v(x,y)都是具有二阶连续偏导数的二元函数，
且使曲线积分?L1udx?vdy与?L2vdx?udy都与积分路径无关。试证：对于函
?2u?2u?2v?2v?2?0,?2?022?y?x?y数u?u(x,y),v?v(x,y)，恒有?x。
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?u?v解：由积分与路径无关知：??y?x?u?v?2u?2v?－于是有2???x?y?y?x?x?2u?2v?由v?v(x,y)具有二阶连续偏导则两种二阶混合偏导相等，2?x?y?y
?2u?2u?2v?2v故代入有2?2?0同理有：2?2?0?x?y?x?y
九、（14分）
n2nx?n!1． 1． 求幂级数1的收敛区间及和函数。
?解：?＝lim?an?1?0R??收敛区间(??,??)n??an?n2nn设 S??x?x?xn?1?xS11n!1(n?1)!?11nSdx?x?xxn?1?xex??1?1(n?1)!1(n?1)!0x?S1?(1?x)exS?x(1?x)ex
2． 2． 周期为2的函数f(x)，设它在一个周期??1,1?上的表达式为f(x)?x，
将f(x)展成傅立叶级数。
1解：?f(x)是偶函数，?bn?0n?1,2,?a0?2?xdx?101an?2?xcosn?xdx?02n?22???1??1?nn?1,2,?x?[?1,1)
1?2nf(x)???22??1??1cosn?x2n?1n?
??高等数学解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中 1、二重积分
(其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为
答 ( B ) 2、设∑为球面x2+y2+z2=a2在z≥h部分，0
12
答 ( D ) 二、填空题（将正确答案填在横线上）
1. 1. 设L是 |y|=1－x表示的围线的正向，则 ?L2ydx?xdy?-2
????f1?ydx???f1x?f2??dy?f2dz??2. 设u=f(xy,y?z)，f(s,t)可微，du=.
45设I??Lyds,L为:y?2x,0?x?1. I=3. 3.
2
三、解答下列各题 已知曲线积分?(?)?1，求?(x)。
y??sinx??(x)dx??(x)dy?Lx与路径无关，其中?(x)可导，且
解：由积分与路径无关，故
?Q?Psinx??(x)1sinx???(x)?即??－???x?yxxxdxdx?1sinx?x??x??一阶线性微分方程通解为：??e??xedx?c??x??cosx?c???
?代初始条件：?(?)?1 得
四、解答下列各题
c???1 特解为：?(x)?1(?cosx???1)x
?u22223?x(1,1,1) 设z?z(x,y)由方程x?y?z?3xyz所确定，u?xyz,求。
?z2x?3yz?u?z?u??,?y2z3?3xyz2?,??2?x2z?3xy?x?x?x?1,1,1?
五、解答下列各题
函数u?xy?yz在点（1，2，－1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。
?u?y2cos??(2xy?z3)cos??3yz2cos?(1,2,?1)解：?l
?4cos??3cos??6cos? (4分)
23???g设??4,3,6?l??cos?,cos?,cos??
?0?u????g?l0?gcos???0?g则?l，其中为与l的夹角。
13
?u??gg所以当l与同向时，?l=?61取最大值。
六、解答下列各题
?0 (10分)
??1,x???2f?x????0,???x???,??x???22?在???,??内把函数展成Fourier级数。
解：将已知函数以2π作周期延拓为F(x)其为偶函数，故bn=0 n=1,2,…
?a0?2???0f(x)dx?22??dx?1,an?02???0f(x)cosnxdx?2n?sin,n?1,2,?n?21?2n?f(x)???sin?cosnx2n?1n?2七、解答下列各题
??????????x????,?????,???,??2??22??2??
计算其中∑是z=1－x2－y2在xoy面上方的部分
曲面的上侧。
解：补一平面块∑1：z=0,x2+y2≤1，取下侧，
∑和∑1围成立体Ω，由高斯公式
八、解答下列各题
1．求微分方程y???2y??y?8(1?e2特征方程r?2r?1?0的根为：
2x
)的通解。
r1?r2?1
对应的齐次方程的通解为
yC?(C1?C2x)ex
*2x代入方程确定A?8,B?8y*?8?8e2x 设特解为y?A?Be
故所求通解为
14
y?(C1?C2x)ex?8?8e2x
AB的闭区域D上，2． 设平面上有三个点O(0,0),A(1,0),B(0,1)，在?O求出点M，
使它到点O、A、B的距离平方和为最大。
解：设所求点为M(x,y,) 距离的平方和：
d?x2?y2?(x?1)2?y2?x2?(y?1)2(0?x?1,0?y?1?x) 在区域内部求驻点： ?d1?d1?11??6x?2?0解出x??6y?2?0解出y?驻点：?,??x3?y3?33? 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，
22d?2y?(y?1)?1驻点(0,1/3),与端点函数值比在边界x=0, 0≤y≤1上
较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。
22d?2x?(x?1)?1驻点(1/3，0),与端点函数值比在边界y=0, 0≤x≤1上较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。
222d?3x?2(1?x)?(x?1)在边界y=1-x ,0≤x≤1上驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。
比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。
九、解答下列各题
求幂级数
lnnnxnn?2
的收敛域。当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明。
n???1??an?1ln(n?1)n?lim??1n??an??n?1lnnn解： 收敛半径R＝1
lim当x=1时
lnx1?lnxf??x??x，x2 令
当 x?e时，f??x??0 f?x?单调减
f?x??当 n?3 an?f?n??f?n?1??an?1 又
liman?limn??lnn?0n??n
为莱布尼兹级数收敛，从而原级数收敛。
故n?3????1?nlnnnlnnln2?n， 一般项加绝对值后，当n?2时， n?lnn?故 n?1n 发散。
故原级数条件收敛。
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