第十六章 压 杆 稳 定 - 山西建筑职业技术学院精品课程

第十六章 压 杆 稳 定

一、内容提要 1. 概念

稳定平衡 构件受力作用且经干扰后能保持原有平衡状态，称之为稳定平衡。

失稳 构件受力作用且经干扰后不能保持原有平衡状态，构件为不稳定平衡，即为压杆丧失稳定性，简称失稳。

临界力 临界平衡状态时作用在压杆上的压力。 2. 临界力或临界应力 细长压杆用欧拉公式

?2EI?2EFcr? ?cr?2

(?l)2?中长压杆用经验公式

σcr=a－bλ

3. 压杆稳定计算

稳定条件 σ=

2

FN≤?[σ] A利用稳定条件可解决三方面问题 1. 压杆稳定校核

2. 计算压杆或结构的许用荷载 3. 确定压杆截面尺寸 二、典型例题解析

例16-1 图16-1所示压杆均为圆形截面细长压杆，各杆所用的材料及直径均相同。当压力从零开始以相同的速率增加时，问哪根杆最先失稳？

图16-1

知识点 压杆的临界力与失稳

解 临界力小的杆首先失稳。各杆均为细长压杆，临界力均用欧拉公式计算

?2EFcr?2?A

?由已知条件可知各杆EA均相同。所以λ最大者临界力最小，杆最先失稳。 λ=

?l 各杆i均相同，只需比较μl的大小。 i

a杆：μl=2a b杆：μl=1.3a c杆：μl=1.12a

a杆的μl最大，即λ最大，a杆最先失稳。 例16-2 图16-2a为一螺旋千斤顶，最大承载压力FP=120kN，材料为Q235钢，[σ]=80MPa，丝杠长l=500mm，丝杠为圆形截面（轧制），直径D=52mm，试校核其稳定性。

图16-2

知识点 压杆稳定性校核 解 （1）计算柔度

丝杆可简化为下端固定上端自由的压杆，见图16-2b μ=2 柔度λ=

?i=

d52?mm?13mm 44?li2?500=77＜100 属于中长杆 13(2) 稳定性校核

查教材表16-4得 ?=0.801 ?[σ]=0.801×80MPa=64.08MPa

FP120?103?4?工作应力 σ=MPa=56.5MPa＜64.08MPa A3.14?522稳定性满足要求.

三、思考题提示或解答

16-1 图示矩形截面杆，两端受轴向压力F作用。设杆端约束条件是：在xy平面内两端视为铰支；在xz平面内两端视为固定端。试问该压杆的b与h的比值等于多少时，才是合理的？

原图16-13 思 16-1图

提示 在xy平面内弯曲时z为中性轴；在xz平面内弯曲时y为中性轴。使b与h的比值最合适时两个平面内的临界力相等。b/h=0.5

16-2 有一圆截面细长压杆，试问：（1）杆长增加一倍；（2）直径d增加一倍。临界力各有何变化？ 提示 按欧拉公式分析。

（1）杆长增加一倍时，临界力为原来的1/4

（2）直径d增加一倍时，临界力为原来的16倍。 16-3 根据柔度大小，可将压杆分为哪些类型？这些类型压杆的临界应力σcr计算式是什么？分别属于什么破坏？

解答 根据柔度大小，可将压杆分为细长、中长、短粗三类；

?E ?2中长压杆临界应力用经验公式 σcr=a－bλ

2细长压杆临界应力用欧拉公式 σcr=

2

短粗压杆临界应力用极限应力 σcr=σs或σcr=σb

16-4 图示各种截面形状的中心受压直杆两端为球铰支承，试确定在压杆失稳时，将绕横截面的哪根轴转动。

原图16-14 思 16-4图

提示 压杆失稳时将绕惯性矩最小的轴转动。

16-5 图示四根压杆的材料及截面均相同，试判断哪个杆的临界力最大？

原图16-15 思16-5图

解答 柔度λ与临界力成反比，柔度λ最小的杆临界力最大。 λa=4l/i λb=5l/i

λc=4.9l/i λd=4.5l/i λmin=λa=4l/i

所以a杆的临界力最大.

16-6 试判断以下两种说法是否正确？

（1）临界力是使压杆丧失稳定的最小荷载。

（2）临界力是压杆维持直线稳定平衡状态的最大荷载。 解答 （1）正确；（2）不正确

16-7 何为折减系数？它随哪些因素变化？

提示 折减系数就是稳定系数；它随材料、柔度、截面类型而变。 16-8 何为柔度？柔度表征压杆的什么特性？它与哪些因素有关？

提示 柔度表征压杆的长细特性；它与压杆的支承情况、长度、截面形状及尺寸有关。 四、课后习题解答

题16-1～16-5为计算临界力

16-1两端铰支的№22a工字钢的细长压杆。已知杆长l=6m，材料Q235钢，其弹性模量E=200GPa。试求该压杆的临界力。

原图16-16 题16-1图

解 细长压杆的临界力用欧拉公式计算 两端铰支 μ=1

4

查型钢表得 Imin=225cm

?2EI3.142?200?103?225?104?N=123kN Fcr=

(?l)2(1?6?103)216-2 一端固定一端铰支的圆截面细长压杆。已知杆长l=3m，d=50mm，材料Q235钢，其弹性模量

E=200GPa。试求该杆的临界力。

原图16-17 题16-2图

解 细长压杆的临界力用欧拉公式计算 一端固定另一端铰支 μ=0.7 圆截面的惯性矩 I=

2?d464

33.14?5043.14?200?10??2EI64Fcr=?N=137kN 232(?l)(0.7?3?10)16-3 图示结构由两个圆截面杆组成，已知二杆的直径d及所用材料均相同，且二杆均为细长杆。问：

当FP从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考虑图示平面）

原图16-18 题16-3图

解 (1) 求每根杆的压力

取B点研究，如题解16-3图。

题解16-3图

由平衡方程

∑Fx=0 得 FNAB cos45°－FNBC cos30°=0 ∑Fy=0 得 FNAB sin45°＋FNBC sin30°－FP=0 解方程得 FNAB=0.896FP FNBC=0.732 FP 即 FNAB=1.22 FNBC (2) 求每根杆的临界力

?2EIFcrAB=

(?lAB)2

?2EIFcrBC=

(?lBC)2由于两杆的μ EI均相同，所以

2FcrABlBC?2=2 FcrBclAB(3) 判断失稳

压力先达到临界力的杆先失稳

当BC杆上的压力达到临界力时 FNBC= FcrBC BC杆开始失稳时。

此时 AB杆的压力为 FNAB=1.22 FNBC=1.22 FcrBC＜FcrAB AB杆仍处于稳定平衡状态 所以BC杆先失稳。

16-4 图示压杆由Q235钢制成，材料的弹性模量E=200GPa。在xy平面内，两端为铰支；在xz平面内，两端固定。试求该压杆的临界力。

原图16-19 题16-4图

解 查表可知Q235钢的λP=100

(1) 在xy平面内，中性轴为z轴

λz=

?zliz1?2.4?103=208＞100 ?4012按欧拉公式计算临界力

?2EA3.142?200?103?60?40Fcr=2?N=246kN

?2082(2) 在xz平面内，中性轴为y轴

λy=

?yliy0.5?2.4?103=69＜100 ?6012按经验公式计算临界力

22

Fcr=(235－0.00668λ)A=(235－0.00668×69)×60×40N=488kN (3) 该压杆的临界力为两个平面内临界力中的较小值 Fcr=246kN

16-5 两端铰支的木柱横截面为120mm×200mm的矩形，l=4m，木材的弹性E=10GPa, σp=20MPa。试求木柱的临界应力。（提示：若需经验公式，可用σcr=28.7-0.19λ）

解 λP=?E10?103=70.21 ?3.14?20?P1?4?103λ==115.47＞λP ?120i12?l木柱为细长压杆，按欧拉公式计算临界应力

?2E3.142?104σcr=2?MPa=7.39 MPa

?115.472题16-6～16-9为压杆的稳定计算问题

16-6 图示三角架中，BC为圆截面杆(扎制)，材料为Q235钢。已知FP=12kN，a=1m，d=40mm，材料的许用应力[σ]=170MPa。

（1）校核BC杆的稳定性；

（2）从BC杆的稳定条件考虑，求此三角支架所能承受的最大荷载FPmax。

原图16-20 题16-6图

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