2012届高考考前一个月理数解答题训练（二十八）(2)

解答题训练（二十八）参答

18．（本小题满分14分） 解：（1）已知等式即

sinAsinBsinAsinCsinBsinC??，

cosAcosBcosAcosCcosBcosC亦即

sinAsinBsin(A?B)?，

sinCcosC即

abcosCsinAsinBcosC?1?1． ，即22sinCca2?b2?c2a2?b2?1，故?3．………………..7分 所以222ccb2?c2?a22b2?a2?（2）AB?AC?bccosA?，

23a2?b2?1， 由已知2 所以AB?AC??

19．（本小题满分14分）

解：（1）由an?1?2Sn?1． ----①

得an?2Sn?1?1(n?2)．----②， ①?②得an?1?an?2(Sn?Sn?1)，

∴an?1?3an(n?2)，

又a1?1，a2?3也满足上式， ∴an?3n?1；

2． ……………………14分 3b5?b3?2d?6，∴d?3，∴bn?3?(n?3)?3?3n?6．………7分

1(1?3n)3n?1?（2）Sn?，

1?323n?11?)k?3n?6对n?N?恒成立， ∴(22第 6 页 共 11 页

即k?6n?12?对n?N恒成立． n36n?126n?126n?18?4n?14c?c???，， nn?1nnn?1n?13333令cn?当n?3时，cn?cn?1， 当n?4时，cn?cn?1， ∴(cn)max?c3?2， 9∴k?

2． …………………14分 920．（本小题满分15分）

解：（1）取BD的中点E，连接AE、CE，

CE?BD， 由AB?AD、CB?CD，得：AE?BD、∴?AEC就是二面角A?BD?C的平面角， ∴cos?AEC?3． 3?ACE中AE?6，CE?2，

AC2?AE2?CE2?2AE?CE?cos?AEC?4，

故AC?2．

由AB?AD?BD?22，AC?BC?CD?2， ∴AC?BC?AB，AC?BD?AD，

?∴?ACB??ACD?90，即AC?BC、AC?CD，

222222又BC?CD?C，∴AC?平面BCD． …………………..8分 （2）法一：由（1）知BD?平面ACE，BD?平面ABD，

∴平面ACE?平面ABD，平面ACE?平面ABD?AE， 作CF?AE交AE于F，则CF?平面ABD，

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∴?CAF是AC与平面ABD所成的角，

sin?CAF?sin?CAE?

CE3．…………..…..15分 ?AE3法二：设点C到平面ABD的距离为h，∵VC?ABD?VA?BCD，

∴?1111?22?22sin60??h???2?2?2， 3232∴h?23， 3h3．………..15分 ?AC3于是AC与平面ABD所成角?的正弦为sin??

法三：以CB、CD、CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系

C?xyz，则A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,0,0)、D(0,2,0)．

设平面ABD的法向量为n?(x,y,z)，

2y?2z?0， 则n?AB?0，n?AD?0，得2x?2z?0、取x?y?z?1，则n?(1,1,2)，

于是AC与平面ABD所成角?的正弦即为sin??

21．（本小题满分15分）

解：（1）设椭圆半焦距为c?|n?AC||n||AC|?3．……....15分 3a2?b2①，

b2将x??c代入椭圆方程得y??，

a2b24∴②； ?a3又由已知得

1b?2c?2③； 2第 8 页 共 11 页

由①②③解得a?3、b?2、c?1．

222x2y2??1． …..6分 所求椭圆方程为：32（2）设直线l：x?my?1即x?my?1?0，

圆心O到l的距离d?11?m222，

由圆性质：|AB|?2r?d2?25?1， 21?m又|AB|?[4,19]，得m?3．

?x?my?1?22联立方程组?x2，消去x得(2m?3)y?4my?4?0． y2??1?2?3设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则y1?y2?4m?4yy?，． 122m2?32m2?3S?1|F1F2||y1?y2|2

?(y1?y2)2?4y1y216m216??(2m2?3)22m2?348(m2?1) ?22(2m?3)?48．（令t?m2?1?[1,4]）． 14t??4t1(t?[1,4])， t11?0f(t)?4t?t?[1,4]对恒成立， 在[1,4]上为增函数，

tt2设f(t)?4t?则f?(t)?4?83431654t??[5,]，所以，S?[,]． ……..…..15分

t493第 9 页 共 11 页

22．（本小题满分14分）

b2x2?2x?b?(x??1)． 解：（1）f?(x)?2x?x?1x?1由题设，f?(x)?0在(?1,??)内恒成立，或f?(x)?0在(?1,??)内恒成立．

若f?(x)?0，则2x?2x?b?0，

即b??2x?2x??2(x?22121)?恒成立， 22显然?2(x?12111)?在(?1,??)内的最大值为，所以，b?． 22222 若f?(x)?0，则2x?2x?b?0，显然该不等式在(?1,??)内不恒成立． 综上，所求b的取值范围为[,??)． …………..…..4分 （2）由题意，f(1)是函数f(x)的最小值，也是极小值．

因此，f?(1)?2?12b?0，解得b??4． 2经验证，b??4符合题意． ……………….8分

（3）由（1）知，当b?1时，f(x)在(?1,??)内单调递增， 2从而f(x)在[0,1]上单调递增，

因此，f(x)在[0,1]上的最小值f(x)min?f(0)?0， 最大值f(x)max?f(1)?1?1ln2． 222 g?(x)?3(x?a)，由a?1知，当a?1时，g?(x)?0，

因此，g(x)在[0,1]上单调递减，

g(x)在[0,1]上的最小值g(x)min?g(1)?1?2a2?2a，

最大值g(x)max?g(0)?a?2a，

2 因a?1，所以g(x)min?g(1)?1?2a?2a?0．

2第 10 页 共 11 页

① 若g(x)max?a2?2a?0，即a?2时，两函数图象在[0,1]上有交点， 此时a?2显然满足题设条件． ② 若g(x)max?a2?2a?0，

即1?a?2时，f(x)的图象在上，g(x)的图象在下，

只需f(x)min?g(x)min?1112，即f(0)?g(0)?，即?(a?2a)?， 222 解得1?2?a?2． 22,??)． …………..…..14分 2 综上，所求实数a的取值范围为(1?第 11 页 共 11 页

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