函数f(x)一致连续的条件及应用

函数f(x)一致连续的条件及应用

（数学与应用数学2003级 张志华 指导教师 刘敏思）

内容摘要：本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去．

关 键 词：一致连续 拟可导函数 基本初等函数 二元函数

Abstract：This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables.

Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamental primary functions functions of two variables 1．引言

函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛．因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的． 2．预备知识

2.1一致连续和非一致连续的定义

一致连续：设f(x)为定义在区间I上的函数.若对任给的??0，存在???(?)?0，使得对任何x?,x???I，只要x??x????，就有f(x?)?f(x??)??,则称 函数f(x)在区间I上一致连续.

1

非一致连续：存在?0?0，对任何正数?（无论?多么小），总存在两点 x?,x???I，尽管

x??x????，但有f(x')?f(x'')??0.则称函数f(x)在区间I上非一致连续.

2.2 G.康托定理

G.康托定理[1]：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续.

这个定理的证明可应用实数连续性命题中有限覆盖定理或致密性定理来证明．

但是G.康托定理只能用来判断有限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛．下面再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法． 2.3 几种常见的判断函数一致连续性的方法

方法1：利用李普希茨条件

若f(x)在区间I上满足李普希茨条件，即任给x,y?I，有f(x)?f(y)kx?y?为常数），则f(x)在区间I上一致连续.

方法2：有限开区间上一致连续的判别法

若f(x)在有限开区间(a,b)上连续，且f(a?0)与f(b?0)都存在且有限?函数f(x)在

（其中k(a,b)上一致连续.

类似的有：有限半开半闭区间上一致连续的判别法

若f(x)在区间(a,b]（或[a,b)）上连续，且f(a?0)（或f(b?0)）存在且有限?函数f(x)在(a,b]（或[a,b)）上一致连续.

方法3：无穷区间上一致连续的判别法

若f(x)在(??,??)上连续，且limf(x)?A及limf(x)?B极限存在，则f(x)在

x???x???(??,??)上一致连续.

类似的还有：

若f(x)在[a,??)(或(??,b])上连续，且limf(x)(或limf(x))极限存在，则f(x)在

x???x???[a,??)(或(??,b])上一致连续.

f(x)(或limf(x)及若f(x)在 (a,??)(或(??,b))上连续，且limf(x)及lim?x???x?ax??? 2

x?b?limf(x))极限存在，则f(x)在(a,??)(或(??,b))上一致连续.

3. 方法的归纳和应用 3.1方法的归纳及方法的应用

方法1：用连续模数来刻画一致连续性

若f(x)在区间I上有定义,则称?f(?)?supf(x)?f(x)为函数f(x)的连续

x',x''?Ix'?x''??'''模数.

定理 若f(x)在区间I上有定义,则f(x)在I上一致连续的充要条件是

[5]

??0?lim?f(?)?0.

??0'''g(?)?0,则推论 若f(x)在区间I上连续,若?f(?)?supf(x)?f(x)?g(?)且lim?x',x''?Ix'?x''??f(x)在I上一致连续.

由上述定理易得到一致连续的视察法:

?f(?)的值只与f(x)的图象最陡的地方有关.若f(x)的图象在某处无限变陡,

使得?f(?)?0,则f(x)非一致连续;若f(x)在某处最陡,但??0时,此处的变差

?f(x')?f(x'')?0,则f(x)一致连续.

1在(0,c)(c?0)上是非一致连续的,但在[c,??)(c?0)上一致连续. x1分析：f(x)?(x?0)，在x?0处，图形无限变陡.

x例1 f(x)????0,?f(?)???.??0?时?f(?)??0.

因此，f在任何区间(0,c)(c?0)上都是非一致连续的.

但在区间 [c,??)上，f(x)?可见，f(x)?111?0(??0?). 在点c处最陡，且?f(?)??xcc??1在[c,??)上一致连续. x方法2：利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续

(1)若f(x),g(x)都在区间I上一致连续,则f(x)?g(x)也在I上一致连续.

3

(2)若f(x),g(x)都在有限区间I上一致连续,则f(x)g(x)也在I上一致连续.

若f(x),g(x)都在区间I(含无穷区间)上一致连续且有界,则f(x)g(x)也在I上一致连

续.

(3)若f(x)在区间I上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则致连续.

(4)若f(x)在区间I上一致连续 ,则?f(x)也在I上一致连续(其中?为任意常数). 例2 若f(x)在有限区间I上一致连续, g(x)在区间I上非一致连续.问: f(x)?g(x)在

1也 在I上一f(x)I上的一致连续性.

分析：假设f(x)?g(x)在I上一致连续，又f(x)是有限区间I的一致连续函数， 由一致连续函数的四则运算性质知g(x)?[f(x)?g(x)]?f(x)在I上一致连续，这与条件矛盾. 所以，f(x)?g(x)在I上非一致连续．同理有f(x)?g(x)在I上非一致连续.

方法3：复合函数的一致连续性

设函数f(x)在区间I上一致连续, g(x)在区间U上一致连续,且g(U)?I,则复合函数

f(g(x))在区间U上一致连续.

方法4：利用两区间之并

设f(x)定义在[a,c]上，若f(x)在[a,b]和[b,c]上都连续，则f(x)在[a,c]上一致连续. 上述结论可进一步推广为：

设区间I1的右端点为c?I1,区间I2的左端点也为c?I2(I1,I2可为有限或无限区间).若

[1]

f(x)在I1和I2上都一致连续,则f(x)在I?I1?I2上一致连续.

例3 讨论f(x)?x在[0,??)上的一致连续性.

分析：f(x)在[0,??)上连续，设a?0，

当0?x?a时，设0?x1?a,0?x2?a,x1?x2??， 则

4

x1?x2?x1?x2??, 0??f(?)?supx1,x2?[0,a]x1?x2??f(x1)?f(x2)?? ??0，所以 f(x)?且 lim???0x在[0,a]上一致连续.

当x?a时，

x1?x2?所以 f(x)?x1?x2x1?x2??2a,且lim???0?2a?0.

x在[a,??)上一致连续.

x在[0,??)上一致连续.

综上所述，f(x)?方法5：利用数列

(1)函数 f(x)在I上一致连续?对区间I上任意两个数列{xn},{yn},当limxn?yn?0n??时,有limf(xn)?f(yn)?0.

n??函数f(x)在I上非一致连续?区间I上存在两个数列{xn},{yn},当limxn?yn?0时,

n??但limf(xn)?f(yn)?0.

n??例4 f(x)?sinx2在(??,??)内非一致连续.

'分析：可取xn?2n???2,xn''?2n???2，则xn'?xn''?0(n??).而

f(xn')?f(xn'')?2，故f(x)?sinx2在(??,??)内非一致连续.

(2)函数f(x)在有界实数集E上一致连续?函数f(x)将E中的柯西列变成R中的柯西

[5]

1列.

方法6：利用渐近线

设f(x)在[a,??)上连续,且lim[f(x)?(cx?d)]?0(c,d为常数).即x???时,

x???f(x)有渐近线y?cx?d，则f(x)在[a,??)上一致连续.

上述结论可进一步推广为:

[6]

5

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