习题解

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1.1 晶体具有哪些宏观特征？这些宏观特征与晶体的微观结构有何联系？

答：晶体有固定的熔点，外形为凸多面体。一个理想完整的晶体，相当的晶面具有相同的面积。晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这种性质称为晶体的解理性，这样的晶面称为解理面。显露在晶体外表的往往是一些解理面。晶体可以有不同的外形和大小，但必须遵守晶面角守恒定律：属于同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）间的夹角恒定不变。

晶体外形上的规则性反映着内部分子（原子）间排列的有序。晶态固体的内部，至少在微米量级的范围是有序排列的，这叫做长程有序。晶体有固定的熔点也是因为在熔化过程中，晶态固体的长程序解体时对应着一定的温度。

1.2简要说明下列概念：结点、基元、原胞、晶胞、布喇菲格子、子晶格、简单格子和复式格子．

答：基元是晶体的基本结构单元；结点是基元的代表点，应该取各基元结构中相同的位置，如基元的重心或其它有明显特征之处；原胞是晶体的最小重复单元，它包含基元及其周围空间；晶胞是能反映结点空间排列或晶体对称性的重复单元，其体积应该是原胞的整数倍；布喇菲格子是指全体结点的集合，反映基元在空间的排列情况；子晶格是指复式格子中同一种粒子构成的网格；简单格子是指晶体中只有一种粒子的情况，复式格子是指有两种或两种以上粒子的情况。

1.3设立方体晶胞边长为a，问简立方、面心立方、体心立方的最近邻和次近邻格点数各为多少？距离多大？

答：简立方分别为6个和12个，距离为a和2a；面心立方分别为12个和6个，距离为

23a和a；体心立方分别为8个和6个，距离为a和22a。

1.4证明体心立方、面心立方的原胞体积分别为a3/2和a3/4。

答：体心立方每个立方体包含2个结点，每个结点对应1个原胞，故原胞体积分别为a3/2。面心立方每个立方体包含4个结点，故原胞体积分别为a3/4。（更严格的证明应用原胞基矢求体积的方法进行）

1.5体心立方晶格是否可以看作两个简立方晶格平移套构而成？如果可以，为什么它们不属于复式格子？

答：体心立方晶格可以看作两个简立方沿体对角线方向平移1/2套构而成，但体心和顶角是同一种粒子且在晶体中的地位相同，所以不是复式格子。 1.6简要说明：晶列、晶向、晶面、密勒指数、正格子、倒格子。 答：任意两个结点相连构成一条晶列，许许多多互相平行的晶列确定一个方向，称晶向。任意三个不在一条线上的结点确定一个平面称晶面，许许多多互相平行的晶面确定一个方向，密勒指数就是与此方向对应的一组整

2?[a2?a3]数。晶体的结点直接形成的格子称正格子，以矢量b1?,

?b2?2?[a3?a1]2?[a1?a2], b3?为基矢构成的格子称倒格子。 ?? 1.7在面心立方和体心立方结构中，面原子密度最大的晶面是哪族晶

面？线原子密度最大的方向是什么晶向？

答：在面心立方中，最近邻原子沿面对角线方向，故此方向线原子密度

,1,0]，间距为最大。用晶胞基矢表示，此方向指数为[1222a。包含两个面2对角线的晶面的面原子密度最大，它们与体对角线垂直，用晶胞基矢表示，此晶面指数为（1,1,1），间距为

3a。 3 在体心立方中，最近邻原子沿体对角线方向，故此方向线原子密度最大。用晶胞基矢表示，此方向指数为[1,1,1]，间距为

3a。包含两个体对角线2的晶面的面原子密度最大，它们与面对角线垂直，用晶胞基矢表示，此晶面

,1,1)，间距为指数为(12222a。 2 1.10 具有笛卡尔坐标(n1,n2,n3)的所有点形成什么样的布喇菲点阵？如果

(a) ni或全为奇数，或全为偶数； (b) 要求

?ni为偶数。

i 答：(a)原点的笛卡尔坐标(0,0,0)，以它为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，这些点的笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为偶数，它们构成边长为2的简立方点阵。同理，以(1,1,1)为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，其笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为奇数，也构成边长为2的简立方点阵。两套点阵套构成体心立方（坐标为偶数的点为顶角，为奇数的点为体心）。 (b) 要求

?ni为偶数则有两种情况，三个坐标全为偶数，或一个偶数两个

i奇数。前者构成面心立方（边长为2）的顶角点，后者构成面心立方的面心

点，如(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)。所以偶数的坐标点的集合构成面心立方。

?ni为

i??? 1.12 如果基矢a,b,c构成正交系，证明晶面族(h,k,l)的面间距为

d?1(h/a)2?(k/b)2?(l/c)2

????????? 证：由于基矢a,b,c构成正交系，不妨设a?ai，b?bj，c?ck。故

???2??2??2??原胞体积??abc，相应的倒格子基矢为b1? i，b2?j，b3?k。

bca与晶面族(h,k,l)相应的倒格矢Kh?hb1?kb2?lb3，故面间距为

2?d???|Kh|2?(h2?/a)?(k2?/a)?(l2?/a)222?????1(h/a)?(k/b)?(l/c)222

1.13 找出四方体(a=b≠c)和长方体(a≠b≠c)的全部对称操作。

H G （1）设两底面为正方形，侧面为长方形。则两底面中心连线为4次轴，两对侧面中心连线为2次轴。四条侧棱中，两组对棱中心

E D F C 连线各构成一个2次轴。考虑到不动也是对称操作，所以共有转动对称操作 3 + 2×1 + 2×1 + 1=8

由于四方体中心为对称中心，所以转动反演对称操作也有8个，故共有16个对称操作。

A B （2）对于长方体，只存在3个2次轴（3对面中心连线），也存在对称中心，对称操

作数为

2×（3×1 + 1）=8

1.14 证明：一个具有对称素3的物体必定具有对称素3和1；而一个具有对称素6的物体心定具有对称素3和2。反之亦然。 证：以Cn表示转

2?2?操作，Cni表示转接着中心反演操作，I表示中心反nn演操作，则 Cni= Cn I

（1）具有对称素3意味着C3i为对称操作，用C3i的组合如

4444322C3i?(C3I)??C3I?C3C3II?C3，说明C3也为对称操作，故物体必具

有对称素3。

3333 另一方面，C3i?(C3I)?C3I?I，说明I也为对称操作，即存在1。

反之，C3 I= C3i，所以存在对称素3和1，则必存在3。

22222（2）C6i?(C6I)?C6IC6I?C6I?C3I?C3，即C6i的组合可以得到C3，

所以具有对称素为6的物体必具有对称素3。

3333 C6i?(C6I)?C6I?C2I?C2i，即C6i的组合可以得到C2i，所以具有

对称素为6的物体必具有对称素2。

22437 反之，C3C2i?C3C2I?C6C6I?C6I?C6I?C6i，即C3及C2i的组合可以

得到C6i，所以具有对称素3和对称素2的物体必具有对称素为6。 1.15 试分析立方晶系为什么没有底心格子；四方晶系为什么没有底心和面心格子？

答：在立方体引入底心，破坏了原来的对称性，例如不再有3次轴，所以立方晶系为什么没有底心格子。在四方体中引入底心，可以采用更小的四方体作原胞，即简单四方。而面心格子可简化为体心四方。

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