四川省遂宁市2017-2018学年高二上学期期末考试数学理(2)

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CA?CB?CD?BD?2，AB?AD?2

（1）求证：OE//平面ACD;

（2）求直线OC与平面ACD所成角的正弦值.

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20．（本小题满分12分）

遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．

（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．

（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00～8:00到达，乙船将于早上7:30～8:30到达，请求出甲船先停靠的概率

▲

21. （本小题满分12分）

如图三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB?B1C． （1）证明：AC?AB1； （2）若AC?AB1,?CBB1??3，AB?BC，求二面角A?A1B1?C1的余弦值．

▲

22．（本小题满分12分）

已知圆心在

??切于点E?，n?.圆P：x轴上的圆C与直线l:4x?3y?6?0?3?5x2?(a?3)x?y2?ay?2a?2?0．

（1）求圆C的标准方程；

（2）已知a?1，圆P与x轴相交于两点M,N（点M在点N的右侧）．过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A,B两点．问：是否存在实数a，使得

?ANM??BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

▲ 遂宁市高中2019级第三学期教学水平监测 数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（5×12=60分） 题号 答案

1 C

2 D

3 D

4 B

5 A

6 C

7 B

8 C

9 A

10 11 12 D

A

B

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．D 14．15 15． 16．6 三、解答题：本大题共6个小题，共70分． 17．（本小题满分10分） （1）

边上的高所在的直线为直线

为垂足，由已知

得： ， ……………2分 而 ， ……………3分 而 ，所以直线 的方程为 ……………5分 （2） 边上的中线所在的直线为直线 为 中点， 由已知 ， 得： ， ……………6分 而 ，得： ， ……………8分

所以直线 的方程为 ，即 . ……………10分

18．（本小题满分12分）

（1）由数据求得 ……………2分 由公式求得 ……………4分 再由 ……………5分 所以 关于 的线性回归方程为 ……………6分 （2）当 时, , ； ……………8分 同样, 当 时, , ……………10分

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ……………12分

19．（本小题满分12分）

（1）证明：连结 ， 、 分别是 、 的中点 ∥ ， 又 平面 ， 平面 ，

∥平面 ……………6分 （2）法一：连结 ， 在 中， 由已知可得 而 平面 .

以 分别为 轴，建立如图所示的直角坐标系 ……………8分 设平面 的法向量 ，由 ， 则有

，令 ，得 ……………10分 又因为 ,所以

故直线 与平面 所成角的正弦值为： ……………12分 法二：设 到平面 的距离为 ，由 ,有 ，得 ……………10分

故直线 与平面 所成角的正弦值为： ……………12分

20．（本小题满分12分） （1）这种规则是不公平的

设甲胜为事件 ，乙胜为事件 ，基本事件总数为 种

则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个： ， ， ， ， ， , , , , , , , ，

∴甲胜的概率 ……………3分 乙胜的概率 ， ……………5分

∴这种游戏规则不公平． ……………6分 （2）设甲船先停靠为事件 ,甲船到达的时刻为 ，乙船到达的时刻为 ， 可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为 ，这是一个正方形区域， 面积 ，事件 所构成的区域为 ，

，这是一个几何概型，

所以 ……………12分

21．（本小题满分12分）

（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，因为侧面 为菱形， 所以 ，且 为 及 的中点，又 ， 所以 平面 ．由于 平面 ，

故 ．又 ，故 ． ……………5分 （2）因为 ，且 为 的中点， 所以 ．又因为 ， 所以 ，故 ， 从而 两两相互垂直，

为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系

因为 ，所以 为等边三角形，又 ，则 ， ． ……………6分 ， ，

设 是平面 的法向量，则

，即 ，所以可取 ……………8分 设 是平面 的法向量，则 ，同理可取

……………10分 ……………11分 所以二面角 的余弦值为 ． ……………12分

22．（本小题满分12分）

（1）设圆心 的坐标为 ，由点 在直线 上，知： ……………1分 则 ，又 ， ，则 ……………3分 故 ，所以 ，即半径 .

故圆 的标准方程为 . ……………4分 （2）假设这样的 存在，在圆 中，令 ，得： 解得： ，又由 知

所以： ……………6分 由题可知直线 的倾斜角不为0，设直线 ： ，

∵点 在圆 内部∴有 恒成立

……………8分 因为 ，所以 ,即

，因为对任意的 都要成立，所以

由此可得假设成立，存在满足条件的 ，且 ……………12分

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