29．（5分）（2006?常德）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元．
（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ （2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30 元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元． ①试问该经营业主有哪几种进货方案？
②设该业主计划购进空调t台，这两种电器销售完后，所获得的利润为W元、求W关于t的函数解析式，并利用函数的性质说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 30．（4分）如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．
31．（3分）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．
2010-2011学年北京市师大附中七年级
（下）期末数学试卷
1.D 2.A 3.A 4.B 5.C 6.C 7.C 8.A 9.D 10.A 11.D 12.B 13. 当x= 3 时 14. 当x 2
2
54
时，15. （a﹣b）（a+b+5） ．
16. 3x﹣4xy+10y ． 17.mn． 18. 1，2，3，4 ．
19. 14 ． 20. 那么该班同学平均每人捐款 36 元；中位数是 30 元． 21. ∠EPF的度数为 63° ． 22. ﹣28 ．
23. 解：总人数=20÷40%=50人，则打乒乓球的人数=50﹣20﹣15﹣10=5人， 24. 179 枚棋子．
22
25. 解：（1）[（3x+2y）﹣（3x﹣2y）+4xy]÷（﹣2x）， =[6x?4y+4xy]÷（﹣2x）， =﹣14y；
（2）3y（4x﹣3y）（3y+4x）﹣（2x﹣3y）（4x+6xy+9y），
2233
=3y（16x﹣9y）﹣（8x﹣27y），
2333=48xy﹣27y﹣8x+27y，
23=48xy﹣8x． 26.
；
．
2
2
22
27. 解：（1）ax﹣4axy﹣a+4ay，
22
=a（x﹣4xy﹣1+4y），
2
=a[（x﹣2y）﹣1]， =a（x﹣2y﹣1）（x﹣2y+1）；
（2）（a﹣b）（3a+b）+（a+3b）（b﹣a），
22
=（a﹣b）（3a+b）﹣（a+3b）（a﹣b），
22
=（a﹣b）[（3a+b）﹣（a+3b）]， =（a﹣b）（3a+b+a+3b）（3a+b﹣a﹣3b），
2
=8（a﹣b）（a+b）；
（3）（x+3x﹣2）（x+3x+4）﹣16，
222
=[（x+3x）+2（x+3x）﹣8]﹣16，
222
=（x+3x）+2（x+3x）﹣24，
22=（x+3x+6）（x+3x﹣4），
2
=（x+3x+6）（x+4）（x﹣1）． 28. 解：（1）原式==
2
22
2
====
（2）原式==a﹣b；
（3）原式====﹣
（4）原式=
；
2
2
﹣﹣
；
?=?=（a+b）（a﹣b）
==
2
2
﹣
又a+b+a﹣4b+可得a=
b=2
=0，故（a+a+）+（b﹣4b+4）=0即
22
+（b﹣2）=0
2
此时原式===．
29. 解：（1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为x元和y元 依题意，得解得
即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为1800元和150元；
（2）①设该业主计划购进空调t台，则购进电风扇（70﹣t）台， 依题意得解得：
，
，
∵t为整数，
∴t为9，10，11，
故有三种进货方案，分别是：
方案一：购进空调9台，电风扇61台； 方案二：购进空调10台，电风扇60台； 方案三：购进空调11台，电风扇59台．
②设这两种电器销售完后，所获得的利润为W， 则W=200t+30（70﹣t）=170t+2100， 由于W随t的增大而增大．
故当t=11时，W有最大值，W最大=170×11+2100=3970， 即选择第3种进货方案获利最大，最大利润为3970元． 30. 证明：∵DC⊥EC， ∴∠1+∠2=90°，
又∠D=∠1，∠E=∠2， ∴∠D+∠1+∠E+∠2=180°． 根据三角形的内角和定理，得 ∠A+∠B=180°， ∴AD∥BE．
31. 解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006， a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006， （1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007， （1+b）（c+1+a+ac）=2007， （1+b）（c+1）（a+1）=2007， 2007只能分解为3×3×223 ∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223 ∴a、b、c也只能分别为2、2、222 ∴长方体的体积abc=888．
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