高等数学(工专)_创建时间[2011-11-21 9_28_09](3)

53. 解：?54. 解：

311???3dx?arctanx???. 2134121?x??0xcosxdx??xdsinx?xsinx0??sinxdx?0?cosx0??2.

00????55. 解：令x?t，则x?t2,dx?2tdt，于是，

?1?141xdx??212tt?1?132dt?2?dt?2(t?ln(1?t))1?2(1?ln). 1?t1?t256. 解：分离变量得10-ydy?10xdx，两边同时积分 ?10?ydy??10xxdx，

10-y10x得?-?C1，所以原方程的通解为10x?10?y?C（其中C为任意常数）. ln10ln1057. 解：对原方程分离变量：

求得原方程的通解为 y?dydxdydx，两端积分得????，

?2yx?2yxC，其中C为任意常数。 2x4. 2x将x?2,y?1代入，求得C?4，故原方程的所求特解为y?58. 解：将原方程分离变量得

dy1?y2dy1?y2?dx1?x2

两端积分

???dx1?x2，得 arcsiny?arcsinx?C，

通解为y?sin(arcsinx?C)，其中C为任意常数.

59. 解：将原方程分离变量后得

dyxdxdyx，两边积分：??dx， ??22??yy1?x1?x得 lny??数.

C1为原方程的通解，其中C为任意常ln(1?x2)?lnC，从而 y?221?x60. 解：将原方程分离变量得 2ydy?exdx，两端同时积分，得 ?2ydy??exdx.

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故，所求微分方程的通解为：y?e?C（C为任意常数）.

2x61. 解：对增广矩阵进行初等变换：

?1231??1231??1231??1231??2252???0-2-10???0180???0180? ?????????????3513???0-1-80???0210???00-150???x1?2x2?3x3?1?x1?1??故原方程组的等价方程组为?x2?8x3?0，故原方程组的解为?x2?0.

??15x?0?x?03??362. 解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得

?1-102??1-102??1-102??32-11???05-1-5???05-1-5? ??????????23-11???05-1-3???0002??矩阵的最后一行相当于方程组中的方程0?2，不论x1,x2,x3取哪一组数，都不能使该方程成立，从而原方程组无解.

63. 解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得

?3123??-1-21-1??-1-21-1??-1-21-1???3123???0-550?? ??????????0-110???1-110???0-110???12-11??1011??01-10???01-10? ???????0000???0000???x1?1?x3?x1?x3?1?所以原方程组化简为：?，故原方程的通解为：?x2?x3.

?x2?x3?0?x?xx?364. 解：若齐次方程组有非零解，则其系数行列式D?0，

-2-?而D?12-?1103-??(2??)0-4?2???413???(2??)(?2???2)

??(??1)(??2)2.

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由D?0，解得???1或??2。故当???1或??2时，所给齐次方程组有非零解. 65. 解：对原方程的增广矩阵进行初等变换：

?1?1?12??1?1?12??1?1?12??2?1?31???01?1?3???01?1?3? ?????????39??32?50???05?2?6???00??x1?x2?x3?2?x1?5??于是，原方程的等价方程为?x2?x3??3，故原方程的解为?x2?0.

??x?33x3?9??3

三、综合业务题

1??66. 证明：令f(x)?tanx?x?x3，则它在(0,)内连续可导，且在(0,)内

322f?(x)?sec2x?1?x2?tan2x?x2?0，故f(x)在(0,)内严格单调增加，即

2?1f(x)?f(0)?0.所以，当0?x?时，tanx?x?x3成立。

23?67. 证明：令f(x)?ex?ex，x?[1,??)。显然f(x)在[1,??)上连续，在(1,??)内可

导，且 f?(x)?e?e

当x?1时，f?(x)?0，从而f(x)在[1,??)上单调增加，即 f(x)?f(1)?0 故当x?1时，e?ex.

xx68. 证明：令f(x)?x?ln(1?x)，x?[0,??)。则f(x)在[0,??)上连续，在(0,??)内

可导，且 f?(x)?1?1x。当x?0时，f?(x)?0，从而f(x)在[0,??)上单?1?x1?x调增加，即当x?0时，f(x)?f(0)?0，x?ln(1?x)?0，故x?ln(1?x)成立。

69. 解：函数f(x)在点x?0处无定义，当x?0时，f(x)可导，且f?(x)?a?2bx?1，x因为f(x)在点x?1及x?2处取得极值，所以在这两点处f(x)的导数必为零，即

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2?f?(1)?a?2b?1?0a?????3. ?f?(2)?a?4b?1?0，解得?1??b??2?6?70. 解：f(x)在(??,1)?(1,??)内连续可导，为使f(x)在点x?1处连续，应有

x?1lim?f(x)?lim?f(x)?f(1)?1，即lim?x2?lim?(ax?b)?1，由此解得a?b?1.

x?1x?1x?1为使f(x)在点x?1处可导，应有f?(1)?f???(1)。

f(x)?f(1)x2?1因为f?(1)?lim?lim??2.

x?1?x?1x?1x?1?f(x)?f(1)(ax?b)?1(ax?(1?a))?1?f?(1)?lim??lim??lim??a，

x?1x?1x?1x?1x?1x?1由f?(1)?f????2x,x?1(1)得a?2及b?1?a??1，并且f?(x)??.

?2,x?182371. 解：Vy???(2?y)dy?(4y?02y5583?(32?39664)???. 550172. 解：Vy???y2dx???x4dx?0011?5x50??5.

73. 解：由题意可知，曲线与x轴的交点坐标为(1,0)，故所围成的面积为：

S???(x2?1)dx??0121x3x3242(x?1)dx??(?x)?(?x)???2.

33330122212174. 解：依题意，有S??(4?x)dx?16?x3?23??232. 375. 解：当y?2时，代入曲线方程xy?1中，求得x?故面积为：S?1. 213(2?)dx?(2x?lnx)1?5?ln6. ?12x23

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四、 填空题 76.

13 77. e2 78. e 79. 1

80. 16

81. -1 82. 0

83. 23

84. 1 85.

n?1?1

86. ?2ex(1?ex)2 87. 1

88.

1xlnx 89. -4sint

90. 12t

ey91. 1?xey 92. 1

93. （0,0） 94. （1，-1） 95. (??,0)或(??,0]96. -1 97. 1 98. y?0 99. y??3

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