2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题02 函数(5)

15.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】已知函数f(x)的定义域为(0,??)，若y?在(0,??)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”；若y?称f(x)为“二阶比增函数”.

f(x)xf(x)在(0,??)上为增函数，则2x我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为?1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为?2. (Ⅰ)已知函数f(x)?x?2hx?hx，若f(x)??1,且f(x)??2，求实数h的取值范围； (Ⅱ)已知0?a?b?c，f(x)??1且f(x)的部分函数值由下表给出，

32x a d b c a?b?c 4 f(x) 求证：d(2d?t?4)?0；

d t (Ⅲ)定义集合??f(x)|f(x)??2,且存在常数k,使得任取x?(0,??),f(x)?k,

??请问：是否存在常数M，使得?f(x)??，?x?(0,??)，有f(x)?M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由.

因为

ddb?a?,所以d()?0, abab而0?a?b， 所以d?0

所以d(2d?t?4)?0 ??????8分

(Ⅲ) 因为集合??f(x)|f(x)??2,且存在常数k,使得任取x?(0,??),f(x)?k, 所以?f(x)??，存在常数k，使得 f(x)?k 对x?(0,??)成立 我们先证明f(x)?0对x?(0,??)成立

??假设?x0?(0,??),使得f(x0)?0， 记

f(x0)?m?0 x02f(x)是增函数. x2因为f(x)是二阶比增函数，即所以当x?x0时，

f(x)f(x0)??m，所以f(x)?mx2 22xx0 所以一定可以找到一个x1?x0，使得f(x1)?mx12?k

16.已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足： （1）对于任意x?(0,1)，总有f(x)?0； （2）f(1)?1；

（3）若x1?0，x2?0，x1?x2?1，则有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)； （Ⅰ）证明f(x)在[0,1]上为增函数；

（Ⅱ）若对于任意x?[0,1]，总有4f(x)?4(2?a)f(x)?5?4a?0，求实数a的取值范围； （Ⅲ）比较f(212n????)与1的大小，并给与证明； 23n?1222（Ⅲ）令Sn?123n----------①，则 ?????234n?122221S?1?2?3???n--------------②， 2n2324252n?2由①-②得，

1S?1?1?1???1?n，即， 2n2223242n?12n?2n=1?1?n?1

Sn?1?12?13???1n?n22222?12n2n?112n所以f(2?3???n?1)?f(1)?1.

222

17.【黄浦区2013届高三一模】

对于函数y?f(x)与常数a,b，若f(2x)?af(x)?b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”；若f(2x)?af(x)?b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“类P数对”．设函数f(x)的定义域为R?，且f(1)?3．

（1）若(1,1)是f(x)的一个“P数对”，求f(2n)(n?N*)；

（2）若(?2,0)是f(x)的一个“P数对”，且当x?[1,2)时f(x)?k?2x?3，求f(x)在区间[1,2n)(n?N*)上的最大值与最小值；

（3）若f(x)是增函数，且(2,?2)是f(x)的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．

①f(2?n)与2?n+2(n?N*)；②f(x)与2x?2(x?(0,1])．

（3）由(2,?2)是f(x)的一个“类P数对”，可知f(2x)?2f(x)?2恒成立，

11111f(2x)?1恒成立，令x?k(k?N*)，可得f(k)?f(k?1)?1， 22222111即f(k)?2?[f(k?1)?2]对一切k?N*恒成立，

2221111111所以f(n)?2?[f(n?1)?2]?[f(n?2)?2]???n[f(1)?2]?n，

2224222即f(x)?故f(2?n)?2?n?2(n?N*)． ?????????????14分 若x?(0,1]，则必存在n?N*，使得x?(11,n?1]， n22

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