Hermite矩阵与反Hermite矩阵(4)

骣l1p11l1p12?l1p1n鼢骣l1p11l2p12?lnp1n珑鼢珑珑鼢l2p21l2p22?l2p2n鼢l1p21l2p22?lnp2n珑鼢珑鼢= 珑鼢珑鼢???鼢???珑鼢珑珑鼢桫珑lnpn1lnpn2?lnpnn鼢l1pn1l2pn2?lnpnn桫比较等式两端得

lipij=ljpij，(i,j=1,2,?,n)

当li1lj时,pij=0,故lipij=于是有

diag(l1,l2,?,ln)UHU1=UHU1diag(l1,l2,?,ln)

ljpij；当li=lj时，lipij=ljpij，

即

H=H1

四、反Hermite矩阵的性质定理

（一）反Hermite矩阵的性质

根据反Hermite矩阵的定义可知，不难得出反Hermite矩阵具有如下一些性质

[1][2][3]：

（1）对所有A?Cn′n，A-AH是反Hermite矩阵； （2）如果A是反Hermite矩阵，则A'是反Hermite矩阵；

（3）如果A是反Hermite矩阵，则对正整数k，A2k是Hermite矩阵； （4）如果A是反Hermite矩阵，则A的奇数次方也是反Hermite矩阵；

B是反Hermite矩阵，p，（5） 如果A，则对实数k，kA+pB也是反Hermite矩阵；

（6）如果A，B是反Hermite矩阵，则AB是反Hermite矩阵的充分必要条件是AB=-BA；

（7）A是反Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意n阶方阵S，SHAS是反Hermite矩阵.

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（8）偶数阶反Hermite矩阵的行列式为实数，奇数阶反Hermite矩阵的行列式为复数；

（9）若反Hermite矩阵A可逆，则A-1也是反Hermite矩阵 （10）若A是Hermite矩阵，则iA是反Hermite矩阵（i=（11）若A是反Hermite矩阵，则iA是Hermite矩阵（i=（12）任意A?Cn′n可写成

； -1）； -1）11A=(A+AH)+(A-AH)?H(A)22其中H(A)=S(A)，

11(A+AH)是A的Hermite部分，而S(A)=(A-AH)是A的反22Hermite部分；

（二）反Hermite矩阵的定理

定理4-1 每个A?Cn′n可以唯一地写成A=S+iT，其中S和T都是Hermite矩阵.

证明 把A写成

A=1(A+AH)+2Hi轾(-i2)(A-A) 犏臌由Hermite矩阵和反Hermite矩阵的基本性质可知，S=1(A+AH)和2T=(-i2)(A-AH)都是Hermite矩阵，根据唯一性论断，我们知道，如果

A=E+iF,其中E和F都是Hermite矩阵，那么

2S=A+AH=(E+iF)+(E+iF)H=E+iF+EH-iFH=2E

因而E=S.类似地可以证明F=T.

定理4-2 任一个n′n阶矩阵都可表示为一个Hermite矩阵和一个反Hermite矩阵之和.

证明 设任一个n′n阶矩阵B，令

B=B1+B2，

B+B'B-B'其中B1=，B2=，由于

22

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'骣骣B+B'鼢B+B珑'鼢B1=珑=鼢珑鼢珑2鼢桫2桫'B'+B==B1

2B'-B==-B2

2'骣骣B-B'鼢B-B珑'鼢B2=珑=鼢珑鼢珑2鼢桫2桫'B+B'B-B'显然B1=是Hermite矩阵，B2=是反Hermite矩阵.

22定理4-3 设A10，若A*（A的伴随矩阵）是偶数阶反Hermite矩阵，则 （ⅰ）A-1是反Hermite矩阵； （ⅱ）A'是反Hermite矩阵.

证明 （ⅰ） 设A10，A*是2m（m?Z+）阶反Hermite矩阵，即

(A)*'=-A*，由反Hermite矩阵的性质（8）知A*?R，又

AA*=A*A=AE，A10

故两边取行列式，得

(A)因此A?R，从而

*'=A2m-1 R

(A-1)'骣A*÷1*'1A**-1?÷=?=A=(-A)=-=-A， ()÷?÷?AAAA桫'从而A-1是反Hermite矩阵；

（ⅱ）令A=B，由于BB'-1=E，则(BB-1')=E'，从而(B-1')B'=E，

进而-B-1B'=E，于是B'=-B，因而A'是反Hermite矩阵.

定理4-4 若A是反Hermite矩阵，则

（ⅰ）A的主对角线上的元素均为0或纯虚数；

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（ⅱ）对任何U?Cn′n，UAU'还是反Hermite矩阵. 证明 （ⅰ）设复矩阵A=(aij)n′n，则

， i,j=1,2,?,n

-A'=(-aji)n′n由于A是反Hermite矩阵,即A=-A'，故当i=j时，aii=-aii C 有

aii=0或aii为纯虚数

即A的主对角线上的元素均为0或纯虚数；

（ⅱ）对任意U?Cn′n，记B=UAU'，下证B=-B'，因为A是反Hermite矩阵,即A=-A'，故

-B=-UAU'(')=-(UAU)=-(UAU)=U(-A)U=UAU=B

''''''''这就是说，对任意U?Cn′n，A是反Hermite矩阵，UAU'还是反Hermite矩阵. 推论4[6] 若A是反Hermite矩阵，则对任意U?Cn′n，矩阵UAU'的主对角线上的元素均为0或纯虚数.

定理4-5[3] 对任意A?Cn′n，存在一个n阶酉矩阵U和一个上三角矩阵

R，使得

UHAU=R

其中R的对角元素是A的特征值.

定理4-6 若A是n阶反Hermite矩阵，则存在一个n阶酉矩阵U，使得

UHAU=D

其中D=diag(l1,l2,?,ln)，li(i=1,2,?,n)是A的纯虚数特征值.

证明 由定理4-5可知，存在一个n阶酉矩阵P,使得

A=PRPH

其中R是上三角矩阵，记

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骣r11???0??琪R=?0????????0桫r12r220?0r13r23r33?0?r1n÷÷÷?r2n÷÷÷?r3n÷ ÷÷÷?÷÷÷÷?rnn÷由于AAH=AHA,令RHR=RRH,即

骣r11珑珑珑r12珑珑珑琪?珑珑珑r1n桫骣骣0?0鼢r11r12?r1nr11r12?r1n r11珑鼢 珑 r珑鼢r22??鼢0r?r0r?r珑222n222n 12鼢 ?鼢 = ?琪琪琪??0鼢?????????鼢 ?鼢 ? ?鼢 r2n?rnn鼢0?0r0?0r桫桫nnnn r1n0?0?÷÷÷r22??÷÷÷ ÷??0÷÷÷r2n?rnn÷?因此R=diag(r11,r22?，rnn)，即存在n阶酉矩阵U，使得

UHAU=D=diag(l1,l2,?,ln)

由于AH=-A，有DH=-D，即

li=-li，i=1,2,?,n

从而li(i=1,2,?,n)是纯虚数.

定理4-7 设A为n阶反Hermite矩阵，则 （ⅰ）A的特征值均为纯虚数；

（ⅱ）A的不同特征值所对应的特征向量相互正交. 证明 （ⅰ）由定理4-4可以直接得出.

（ⅱ）设l，m是A的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x，y，则

Ax=lx，Ay=my

从而

yHAx=lyHx，xHAy=mxHy

因为A是反Hermite矩阵，l，m均为纯虚数，则

yHAx=myHx

于是

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