2018版高中数学苏教版选修2-2学案：1章末复习课

知识点一 导数的概念

1．定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim→

Δx

f?x0＋Δx?－f?x0?

，称为函数y＝f(x)在x＝x0

Δx0

处的导数．

2．几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，表示为f′(x0)，其切线方程为 ．

知识点二 基本初等函数的导数公式 1．c′＝0. 2．(xα)′＝ 3．(ax)′＝ 4．(ex)′＝ .

. (a>0)．

lnx1

5．(logax)′＝()′＝(a>0，且a≠1)．

lnaxlna1

6．(lnx)′＝. x7．(sinx)′＝ 8．(cosx)′＝ . . 知识点三 导数的运算法则 1．[f(x)±g(x)]′＝ 2．[f(x)·g(x)]′＝ f?x?3．[]′＝ g?x?

． ．

(g(x)≠0)．

知识点四 复合函数的求导法则 1．复合函数记法：y＝f(g(x))． 2．中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)． 3．逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.

知识点五 函数的单调性、极值与导数 1．函数的单调性与导数

在某个区间(a，b)内，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值与导数

(1)极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时，________，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；

(2)极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． 3．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将函数y＝f(x)的______与______处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是________，最小的一个就是______． 知识点六 微积分基本定理

如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?baf(x)dx＝________. 知识点七 定积分的性质 1．?bakf(x)dx＝

(k为常数)． . 2．?bf2(x)]dx＝ a[f1(x)±3．?b af(x)dx＝

(其中a

类型一 导数的概念与几何意义

例1 (1)若曲线f(x)＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.

1

(2)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，

3直线l与直线10x＋y＝6平行． ①求a的值；

②求f(x)在x＝3处的切线方程．

反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为y0－y1Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．

x0－x1跟踪训练1 直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________. 类型二 函数的单调性、极值、最值问题 例2 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

反思与感悟 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力． 跟踪训练2 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a<0. (1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．

类型三 生活中的优化问题

例3 某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．

(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改1

造费x(百万元)，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该

3公司由此获得的收益最大．

反思与感悟 解决优化问题的步骤：

(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域． (2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． (3)验证数学问题的解是否满足实际意义．

跟踪训练3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

类型四 定积分与微积分基本定理

3??x，x∈[0，1?，

例4 (1)设f(x)＝?则?20f(x)dx＝________.

?3－2x，x∈[1，2]，?

(2)如图，是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.

反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤： (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．

(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和． 跟踪训练4 求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积．

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