高等数学下模拟试题(5)

P(x,y)?y?e,Q(x,y)?2xy?5x?sin?2x2y,?P?y?2y,?Q?x?2y?5???3?

原式

??D(?Q?x??P?y)dxdy???6?

?20? ???8?

2、(1) 此级数为交错级数 ???1?

lim1n 因

n???01 ，

n?1n?1(n?1,2,??) ???4?

故原级数收敛 ???6? (2) 此级数为正项级数???1?

(n?1)limn??232n3nn?1?13?1 因五、解：1、由

???2?

???4? 故原级数收敛 ???6?

2fx(x,y)?3x?3?0，

fy(x,y)?3?y?0得驻点(1,3),(?1,3)

在(1,3)处

A?fxx(1,3)?6,B?fxy(1,3)?0,C?fyy(1,3)??12因AC?B在(?1,3)处 因AC?B2、通解

?0,，所以在此处无极值 ???5?

A?fxx(?1,3)??6,B?fxy(?1,3)?0,C?fyy(?1,3)??12

?0,A?0，所以有极大值

dx?1dxf(?1,3)?152???8?

y?[?ee?dx?c]e??x?x?x ???3?

?xe?ceyx?0?c?2

???6?

?x特解为y?(x?2)e ???8?

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 r2?2r?8?0

有两不相等的实根r1?2,r2??4 所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e 2)设其特解y(x)?ae

?5ae?2e,a??xx2x?c2e?4x（c1,c2为?常数） ???3?

*x25

将其代入原方程得

y(x)??*25ex 故特解

???6?

2x3)原方程的通解为y?c1e?c2e?4x?25ex???7?

高等数学（下）模拟试卷六参考答案

一、

填空题：（每空3分，共21分）

22221、(x,y)x?1?y?x?1， 2、2，3、2xcos(x?y)dx?2ycos(x?y)dy,

??1?4、22，5、?20d??10f(r)rdr2，6、绝对收敛，7、y?x?c（c为?常数），

2二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D

三、解：

1、令F(x,y,z)?z?3xyz?5???2?

3?z?x?z?y??FxFzFyFz?yzz?xy ???4? xz22z?xy ???6?

2、所求平面方程的法向量可取为?2,1,3????2?

???则平面方程为：2(x?1)?y?3(z?2)?0???6?

3、原式

?1??10dx?(x?y)dy0x22???4?

3 ???6?

P(x,y)?x?y,Q(x,y)??(x?siny),2?P?y??Q?x??1四、解：1、令

原式

????3?

?10(x?0)dx?52?10(1?siny)dy???6?

3 ???7?

2、令P?x,Q?y,R?z???2?

?cos1??原式

????(??P?x??Q?y??R?z)dv???5?

? ?9????8?

???3dv???7?

3、(1) 此级数为交错级数 ???1?

111?lim?0n??lnn 因 ，lnnln(n?1)(n?2,3??) ???4? 故原级数收敛 ???5?

(2) 此级数为正项级数???1?

?n?14sinn?143lim??1n???3n4sinn3 因 ???4? 故原级数发散 ???5?

五、解：1、由

???3?

fx(x,y)?6x?6?0，

fy(x,y)?4y?y?02得驻点(?1,0),(?1,4)

在(?1,0)处

A?fxx(?1,0)?6,B?fxy(?1,0)?0,C?fyy(?1,0)?42

因AC?B在(?1,4)处

?0,A?0，所以有极小值f(?1,0)??2 ???5?

A?fxx(?1,4)?6,B?fxy(?1,4)?0,C?fyy(?1,4)??42

因AC?B?0,，所以在此处无极值 ???7?

2、通解

y?[?ee?x?1dxdx?c]e?dx ???3?

?(x?c)e ???5?

yx?0?c?1,

特解为y?(x?1)e ???7?

1)对应的齐次方程的特征方程为 r2?5r?6?0 , 有两不相等的实根r1?2,r2?3 3、

2x3xxx所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e 2)设其特解y(x)?(ax?b)e

2ax?3a?2b?x?1,a?*x?c2e（c1,c2为?常数） ???3?

12,b?54

将其代入原方程得

y(x)?(*12x?54)ex 故特解

???6?

2x3)原方程的通解为y?c1e?c2e3x?(12x?54)ex???7?

高等数学（下）模拟试卷七参考答案

一．填空题：（每空3分，共24分）

2t3y?C?()?y?1yt(x,y)|0?x?y?25yxdx?xlnxdy 351. 2. 3.

?22?y22y?e(C1cos2x?C2sin2x) 4. y?Cx 5.1?xy 6. 7.8?8. 2

x二．选择题：（每题3分，共15分）

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

?z??z?u?u?x?z?u?u?y??z?v?v?x?z?v?v?y?2xy21.解：?x?z?yln(3x?4y)?23x22(3x?4y)y ………(4分)

4x22????2xy3ln(3x?4y)?(3x?4y)y ………(7分)

2.解：limun?1un3n?1n?1x???lim32(n?1)?23nnx???(5分)n?2 ??1???(6分)所以此级数发散????(7分)

3. 解：??eDx?y22dxdy=?=? 2? 0 2? 0d?12e?r10erdr??(5分)1r22d?0

四．计算下列各题（每题10分，共40分）

1.解：原方程的通解为y?e????(e?1)??(7分)?1xdx[?lnxe??xdx1dx?c] ???(6分)=x[?lnx?x[121xdx?C]?x[?lnxdlnx?C]2

(lnx)?C]?????????(10分)1x 0

2. 解：???x?y?dxdy=?dx? 0D 1?12?x=??xy?y?dx? 02??0 1 0?x?y?dy??(6分)12??(10分)?32xdx?2

??fx(x,y)??2x?6?03.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)????(4分)?2??fy(x,y)?3y?12?0fxx(x,y)??2,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)?6y在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，AC?B=-24<0，故点(3，2)不是极值点????????(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，AC?B=24>0，且A<0，222)是极大值点，极大值f(3,?2)?30??????(10分) 故点(3，14.解：此幂级数的收敛半径：R=limanan?1n???limn??n4122n?4??(6分)n?1(n?1)4?x?4时幂级数变为?n=1?1n2是收敛的p-级数nx??4时幂级数变为?n=1?(-1)n2绝对收敛?????????????(8分) 所以?n?1x2nnn?4收敛域为[-4，4]????????????????(10分)

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