数字信号处理实验 matlab版 快速傅里叶变换(FFT)(2)

程序执行结果如图14-4所示。

20100-1020100-1020100-10420-10420-1050-5-10-50510-50510-50510-50510-50510-50510图14-4 将例14-4有限长序列补0到N＝32、64、512时的频谱

如果将x(n)的输入写成

xn=[ones(1,11),zeros(1,N-11)];%建立x(n－5)

相当于起点不是取自n＝0而是n＝－5，计算的是x(n－5)的频谱。幅度频谱不受影响，相位频谱引入一个线性相位－5w，如图14-5所示。

15421005-20-10-4-10-50510-50510图14-5 将有限长位移序列x(n－5)补0到N＝512时的频谱

4、用FFT计算无限长序列的频谱

用FFT进行无限长序列的频谱计算，首先要将无限长序列截断成一个有限长序列。序列长度的取值对频谱有较大的影响，带来的问题是引起频谱的泄漏和波动。

例14-5 已知一个无限长序列为

?0.5n??ex(n)????0n?0n?0

采样频率Fs＝20 Hz，要求用FFT求其频谱。

解 MATLAB程序如下：

>> Fs=20;C=[8,16,128]; %输入不同的N值

>> for r=0:2;

>> N=C(r+1); >> n=0:N-1;

>> xn=exp(-0.5*n);%建立x(n) >> D=2*pi*Fs/N;

>> k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2); >> X=fftshift(fft(xn,N));

>> subplot(3,2,2*r+1);plot(k*D,abs(X)); >> axis([-80,80,0,3]);

>> subplot(3,2,2*r+2);stairs(k*D,angle(X)); >> axis([-80,80,-1,1]); >> end

运行结果如图14-6所示。

321032103210-50050-50050-5005010-110-110-1-50050-50050-50050

图14-6 将无限长序列截断为N＝8，16，128时的频谱

由图14-6可见，N值取得越大，即序列保留得越长，曲线精度越高。

例14-6 用FFT计算下列连续时间信号的频谱，并观察选择不同的Ts和N值对频谱特性的影响。

xa(t)＝e－0.01t(sin2t＋sin2.1t＋sin2.2t) t≥0

解 该题选择了三个非常接近的正弦信号，为了将各频率成分区分出来，在满足奈奎斯特定理的条件下确定采样周期，选择三组数据，分别是Ts＝0.5 s、0.25 s和0.125 s；再确定N值，分别选择N＝256和2048。观察不同Ts和N的组合对频谱的影响。

程序如下：

>> T0=[0.5,0.25,0.125,0.125]; %输入不同的Ts值 >> N0=[256,256,256,2048];%输入不同的N值 >> for r=1:4;

>> Ts=T0(r);N=N0(r);%赋Ts和N值 >> n=0:N-1;

>> D=2*pi/(Ts*N);%计算模拟频率分辨率

>> xa=exp(-0.01*n*Ts).*(sin(2*n*Ts)+sin(2.1*n*Ts)+sin(2.2*n*Ts));

>> k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);

>> Xa=Ts*fftshift(fft(xa,N));

>> [r,Xa(1)]%输出Xa(1)的数值,供误差计算用 >> subplot(2,2,r);plot(k*D,abs(Xa),'k');

>> axis([1,3,1.1*min(abs(Xa)),1.1*max(abs(Xa))]); >> end

运行结果如图14-7所示。

403020101232520151051231510512340302010123图14-7 用FFT计算三个很靠近的谐波分量的频谱图

由图14-7可以得出以下结论：

N同样取256(如前三个图形)，当Ts越大时，时域信号的长度L＝NTs保留得越长，则分辨率越高，频谱特性误差越小；反之，则分辨率越低，频谱特性误差越大，甚至丢失某些信号分量。

Ts相同(如后两个图形)，当N越大时，在［0，2p］范围内等间隔抽样点数越多，且时域信号的长度L＝NTs保留得越长，则分辨率越高，频谱特性误差越小；反之，当N越小时，在［0，2p］范围内等间隔抽样点数越少，则有可能漏掉某些重要的信号分量，称为栅栏效应。

五、实验过程

1 已知有限长序列x(n)＝［1，0.5，0，0.5，1，1，0.5，0］，要求： (1)用FFT算法求该时域序列的DFT、IDFT的图形；

(2)假定采样频率Fs＝20 Hz，序列长度N分别取8、32和64，使用FFT来计算其幅度频谱和相位频谱。

解 MATLAB程序如下：

>> xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; >> N=length(xn); >> n=0:N-1;k=0:N-1;

>> Xk=fft(xn,N);

>> subplot(2,1,1);stem(k,abs(Xk)); >> title('Xk=DFT(x(n))'); >> xn1=ifft(Xk,N);

>> subplot(2,1,2);stem(n,xn1); >> title('x(n)=IDFT(Xk)');

运行结果如图61所示。

420012Xk=DFT(x(n)) 3 图1

45671x(n)=IDFT(Xk) 0.5001234567

>> Fs=20;C=[8,32,64];

>> for r=0:2;

>> N=C(r+1);

>> xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; >> D=2*pi*Fs/N;

>> k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2); >> X=fftshift(fft(xn,N));

>> subplot(3,2,2*r+1);plot(k*D,abs(X)); >> title('幅度频谱');xlabel('rad/s'); >> subplot(3,2,2*r+2);stairs(k*D,angle(X)); >> title('相位频谱');xlabel('rad/s');

>> end

幅度 频谱 运行结果如图2所示。

5相位频谱

-50050rad/s幅度频谱50-5-1000-100

-50050rad/s相位频谱50-5-100-50050rad/s相位频谱10050-100-50050rad/s幅度频谱100

5

50-5-1000-100-50

0rad/s50 100

-500rad/s50100图2

2 已知一个无限长序列x(n)＝0.5n(n≥0)，采样周期Ts＝0.2 s，要求序列长度N分别取8、32和64，用FFT求其频谱。

解 MATLAB程序如下：

>> Ts=0.2;C=[8,32,64]; >> for r=0:2; >> N=C(r+1); >> n=0:N-1;

>> xn=exp(0.5*n); >> D=2*pi/(N*Ts);

>> k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2); >> X=fftshift(fft(xn,N));

>> subplot(3,2,2*r+1);plot(k*D,abs(X)); >> title('幅度频谱');xlabel('rad/s'); >> subplot(3,2,2*r+2);stairs(k*D,angle(X)); >> title('相位频谱');xlabel('rad/s');

>> end

运行结果如图3所示。

幅度频谱100500-20x 107相位频谱50-5-20-10010rad/s幅度频谱20-10010rad/s相位频谱202150-10010rad/s幅度频谱20-5-20-10010rad/s相位频谱200-20x 10142150-5-200-20-100rad/s1020-100rad/s1020

图3

六、实验感想

通过此次实验中练习使用matlab语言进行快速傅里叶变换，更为熟悉的掌握了matlab的功能，在实验过程中也遇到很多小问题，并通过仔细检查和查阅相关书籍解决此类问题，让我深刻认识到，细节的重要性。在使用help过程中，深切体会到良好的英语基础和充实

的课堂知识的重要性。

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