概率论与数理统计 — 第七章 参数估计(4)

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[X?t1??(n?1)S2n?1,X?t1??(n?1)S2n?1] （6.25） Example 6.15 在上述前提下求?的置信水平为1-?的区间估计。 Solution ?的点估计量为S，注意到??0，考虑0?c?1?d，及S的邻域[cS，222222dS2]，使 P(A)?P{cS2??2?dS2}?1?? 变换事件A 11??nnS2n??1A??2?2????2?? 2?d??dS??c??cS由定理5.3（ⅱ）知，T(?)?2nS2?2~?2(n?1)，故为使P(A)?1??，通常取 nn2??12??(n?1),???(n?1) 22cd于是，所求区间为 ?nS2?2nS?2? ,2??1??(n?1)??(n?1)?2?2?这里要使区间最短，计算太麻烦，因此，在取分位点时采用类似主对称型分布的取法，使密度函数图形两端的尾部面积均为?（如图6-2）。 2 图6-2 Example 6.16 一批零件尺寸服从N(?,?)，对?进行区间估计（?未知）,要求估计精度不低于2?，置信水平保持为1??，问至少要抽取多少件产品作为样本？ Solution 显然，此处要求 22P{X?????X??}?1?? 由例6.24，??t1??2(n?1)S/n?1，故 第 次 第16页

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?t1??(n?1)S???1 （6.26） n??2?????式（6.26）不是n的显式，但对于具体数值，可采取“试算法”来确定n．一般是先对S作个大致估计(可以由以往的经验确定),然后用试算的方式确定适合方程（6.26）的n．例如若估计出22S2?200，又已知??10,??0.05,来试算n： 2取n?10,t0.975(9)?2.2622,t0.975(9)?2?1?11.24取n?11,t0.975(10)?2.2281,t20.975(10)?2?1?10.93 显然，如果任正整数不可能严格满足方程（6.26）的话，则应取使式（6.26）左边大于右边的最小的n，因此应该取n=11． 三、 双正态总体参数的区间估计 实际中常有类似于下列的问题。 Example 6.17 有Ａ、Ｂ两种牌号的灯泡各一批，希望通过抽样试验并进行区间估计，考察 （ⅰ）两种灯泡的寿命是否有明显差异； 或者考察 （ⅱ）两种灯泡的质量稳定性是否有明显差异。 我们补充一些合理假设，将上述应用问题变为数理统计问题。设Ａ、Ｂ种灯泡的寿命分别服从N(?1,?1)，N(?2,?2)，并设两种灯泡的寿命是独立的。这就是两正态总体的参数区间估计问22?12题，对于（ⅰ）是求?1??2的置信区间，对于（ⅱ）是求2的置信区间。如果在（ⅰ）中，区?2间估计的置信下限大于0，则认为?1明显大于?2；若它的置信上限小于0，则认为?1明显小于?2；若0含在置信区间内，则认为两者无明显差别。对于（ⅱ）也可做类似的讨论，只需将０相应地改为１即可。下面来给出这两个区间估计。不妨设这两种灯泡的样本分别为X1,X2,?,Xn1及Y1,Y2,?,Yn2,置信水平为1-?. 对于（ⅰ），显然可用?1??2的点估计量X?Y来构造置信区间[X?Y?a，X?Y?b]，其中a,b满足 P(A)?P{X?Y?a??1??2?X?Y?b}?1?? 下面分两种情况进行讨论。 ａ） 若?1,?2已知，则变换事件A 22第 次 第17页

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??(???2)?(X?Y)?a?A???1?2222?1?2??1?2???nn2n1n2?1注意到T(?1,?2)???b?? 22?1?2??n1n2??(?1??2)?(X?Y)?21n1??22~N(0,1),欲使P(A)?1??，取 n2a?此时估计区间是 21n1??22?b?21n2n1 ??22?u1?? 2n222???12?2?12?2?,X?Y?u1????X?Y?u1??? 22nnnn?1212???b) 若?1,?2未知，只研究?1??2??的情形，变换事件A: 22222??A??M??其中M??anS?n2S21122?Mn1(?1??2)?(X?Y)nS?n2S22221122?Mn2??? 22n1S1?n2S2??bin1n2(n1?n2?2)21,S1?n1?n2n11(Xi?X),S??n2i?1?(Yi?1?Y)2,由例5.15知 T(?1,?2)?M(?1??2)?(X?Y)nS?n2S21122~t(n1?n2?2)，因此，为使P(A)?1??，取 MbnS?n2S21122ManS?n2S故所求区间是 21122??t1??(n1?n2?2) 2t1??(n1?n2?2)t1??(n1?n2?2)??222222?X?Y?n1S1?n2S2,X?Y?n1S1?n2S2?（6.27） MM????对于（ii）取S1S2估计?1?2，考虑 222A?cS12S2??12?2?dS12S22222??22?cn2(n1?1)n2(n1?1)S2?1dn2(n1?1)? ?????22n(n?1)n(n?1)n(n?1)S?121212?12?第 次 第18页

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22n2(n1?1)S2?12其中T(?,?)?~F(n?1,n?1)).为使，类似于分布，取分?P(A)?1??2122n1(n2?1)S1?22121位点 cn2(n1?1)dn(n?1)?F?(n2?1,n1?1),21?F1??(n2?1,n1?1) 22n1(n2?1)n1(n2?1)故所求区间为 ?n1(n2?1)S12n1(n2?1)S12?,F1??(n2?1,n1?1) （6.28） ?F?2(n2?1,n1?1)22?2n2(n1?1)S2n2(n1?1)S2??Example 6.18 在例6.27中，随机选取Ａ种灯泡5只，Ｂ种灯泡7只，做灯泡寿命试验，算得两种牌号的平均寿命分别为XA=1000（小时），XB=980（小时）；样本方差SA=784（小时2），SB=1024（小时2）．取置信度为0.99，试用关于?1??2的区间估计回答例6.27中的问题(ｉ)，其中假设2?12??2． 22Solution 此题中，置信度1-?=0.99，即?=0.01；n1?5,n2?7．关于例6.27中问题（ｉ），查得 t1??(n1?n2?2)?t0.995(10)?3.1693 2M?n1n2(n1?n2?2)?n1?n25?7?(5?7?2)?5.4 5?722n1SA?n2SB?5?784?7?1024?105.3 代入（6.27）得?1??2的0.99的置信区间为 3.16933.1693??1000?980??105.3，1000?980??105.381.8? ?????41.8，5.45.4??因0含在此置信区间内，故认为?1与?2无明显差异。 第 次 第19页

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