第四届华杯赛决赛一试试题及答案

第四届华杯赛决赛一试试题

1．在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？

2．图1，图2是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图3所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6cm，问：图1，图2中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？

3．这是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到路口B，问：先后共有多少个孩子到路口C？

4．表示一个四位数，表示一个三位数，A，B，C，D，E，

，问：乘积

F，G代表1至9的不同的数字。已知

的最大与最小值差多少？

5．一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或

者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。 6．一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度是4千米/小时。甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/小时，乙在静水中速度是20千米/小时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两港口的距离。

参考答案

1.和为1959 2.图1中画斜线区域的周长比图2中画斜线区域的周长大2AB=12cm 3.走过C的人数为48（人） 4.最大值与最小值的差是525000 5.最大值是80，最小值是61，且1+2+3+5+10+15+25=61 6.240千米

1.【解】设A为100以内所有奇数之和，B为100以内不与77互质的全体奇数之和，X为100以内与77互质的所有奇数之和,则 X＝A－B

显然A＝1＋3＋5＋7＋…＋99＝×50×100＝2500 又77＝7×11

100以内有约数7的奇数之和为7×(1＋3＋5＋7＋9＋11＋13)＝×7×14＝343

100以内有约数11的奇数之和为 11×(1＋3＋5＋7＋9)＝275

所以B＝343＋275－77＝541

于是，所求之和为 X＝2500－541＝1959．

×5×10＝

2.【解】图1中画阴影区域的周长恰好等于大长方形的周长，图2中画阴影区域的周长显然比大长方形的周长小，二者之差是2AB． 从图2的竖直方向看，AB＝a－CD

再从图2的水平方向看，大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD。己知大长方形的长比宽多6cm．所以

(a＋2b)－(2b＋CD)＝a－CD＝6(cm)，从而AB＝6(cm)

因此，图1中画斜线区域的周长比图2中画斜线区域的周长大 2AB＝12cm。

3.【解】在A处的孩子数目看成1份，那么可顺次标出各道口处走过的孩子的份数，

可见B处有4.【解】

，C处有。C处孩子总数是 60＋×＝48(人)

可以看出A＝1，因为E≠O，1，所以B最大为7，这时E＝2由于D、G都不能是O，1，所以D＋G＝13，C＋F＝8由于F≠O，1，2，所以C最

大为5。从而三位数时

＝759最大)。

＝(1000＋

＝1000×993－1000×＝993000－7×—于是在差是

最大为759，这时＝34。 最小为234(这

)×(993－＋993×

一

)，

×

－×

最大时，乘积最小，最小时，乘积最大，因此，所求的

(993000－7×234－234×234)－(993000－7×759－759×759) ＝7×(759－234)＋759×759－234×234 ＝7×(759－234)＋(759＋234)×(759－234) ＝7×(759－234)＋993×(759－234) ＝1000×<759－234) ＝525000。

5.【解】数组1，2，3，5，10，15，25的和是61，我们证明61就是最小值。

首先25是组中两个数a、b的和，不妨设a＞b，而除去1外，组中最小的数必定是2(否则这最小的数不是两个数的和，也不是1的两倍)。第

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