7-12章大学物理习题册答案(2)

三．计算题：

6．电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试求球内、外的电势分布。

解: 因电荷Q的分布具有球对称性,所以球内外场强分布具有球对称性，可在球内、外作半径为r的同心球面为高斯面，

??由高斯定理?E?dS?S?q?0i?E?4?rQ2q??i?0 得:E??qi24??0r。

r?R时（即球外），E1??4??0r2，所以球外任意一点的电势

V??r???E1?dr??rQ4??0r2Q43?R3dr?Q4??0r

r?R时（即球内），?qi?43Qr3Qr?r?3，故E2? 34??0R3R所以球内任意一点的电势为

V??Rr?R????E2?dr??E1?dr??Rr?QrQdr?dr 32?R4??0R4??0rQ(3R2?r2)(R?r)?? ? 334??R8??0R8??0R0Q22Q7．有两根半径都是R 的“无限长”直导线，彼此平行放置，两者轴线的距离是d(d≥2R)，沿轴线方向单位长度上分别带有＋λ和－λ的电荷，如图所示。设两带电导线之间的相互作用不影响它们的电荷分布，试求两导线间的电势差。

解：如图建立Ox轴，则由无限长均匀带电直导线的场强E? 可得P点（距离导线轴线为x处）的场强为

?， ? 2??0ro . x?? P x?E???????di?i?i 2??0x2??0(d?x)2??0x(d?x)两导线间的电势差(取沿x轴正方向为积分路径)为

U??

d?RRd?R??d?Rd?R?11??d?RE?dx??Edx??(?)dx?lnx?ln(d?x)?ln??RRR2??0xd?x2??0??0R第7-4 电势（叠加法） 场强与电势关系 一．填空题：

1．电荷分别为q1，q2，q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上， 如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R，则b点处的电势V＝

q2 O q1 q3 18??0R? 2q1?q2?2q3。

? b

2．半径为R的均匀带电细圆环，电荷线密度为?，则环心处的电势V=E= 0 。

?，场强大小2?03．一“无限长”均匀带电直线，沿z轴放置，线外某区域的电势表达式为V＝Aln(x2+y2)，式中A为常数，该区域电场强度的两个分量为：Ex??2Ax(x2?y2)，

Ey??2Ay(x2?y2)。 二．选择题：

4．下列各种说法中正确的是：（ B ） (A) 电场强度相等的地方电势一定相等 (B) 电势梯度较大的地方场强较大 (C) 带正电的导体电势一定为正 (D) 电势为零的导体一定不带电

5．关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的？（ C ） (A) 在电场中，场强为零的点，电势必为零 (B) 在电场中，电势为零的点，电场强度必为零 (C) 在电势不变的空间，场强处处为零 (D) 在场强不变的空间，电势处处相等

6．如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q、2q、3q．若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为：（ C ） (A)

q23qQ

4??0a63qQ

4??0a (B)

43qQ

4??0a83qQ 4??0a2qa .Oaa3q (C) (D)

三．计算题：

7．电荷q均匀分布在长为2a的细棒上。⑴ 求棒的延长线上离棒的中点O为x的P点的电势；⑵ 由场强与电势关系求P点的场强。

解:（1）如图在离棒中点为l处的均匀带电细棒上取一线元dl,其带电量为

qdqqdldl，dq在P处产生的电势为dV? ?2a4??0(x ?l)8??0a(x?ld)l p . . a -a O 所以整根带电细棒在P点处产生的电势 l x aqdlqx?a V??dV?? ?ln?a8??a(x?l)8??ax?a00dq??dl?（2）E?Ex??x ????V??qx?a?q11?q i??(ln)i??(?)i?i?x?x8??0ax?a8??0ax?ax?a4??0(x2?a2)8．球壳的内半径为R1，外半径为R2，壳体内均匀带电，电荷体密度为? ，Ａ、Ｂ、Ｃ点分别与球心O相距为a、b、c，求：Ａ、Ｂ、Ｃ三点的电势与场强。

解：（1）作半径为r的同心球面为高斯面，由于电荷分布具有球对称性，电场强度分布也呈球对称性，高斯面上各点的电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而由高斯定理

??E??dS?S?q?0i ? E?4?r2??q?0i 得:E??qi24??0r

R2 A B O . . R1 C . 所以A、B、C三点的场强分别为 EA?0

?(b3?R13)?(R23?R13)， EC? EB?3?0b23?0c2 电场强度沿径矢方向

（2）A、B、C三点的电势分别为

VA??0dr??aR1R2R133??(R?(r3?R13)?222?R1)?dr?dr?(R?R) 2122?R2?3?0r3?0r02VB??VC??

R2b333??(R?(r3?R13)?R)2R?2221?dr??dr?(3R2?b?1) 22R6?0b3?0r3?0r2?C?(R23?R13)?(R23?R13) ?dr?3?0r23?0c第8-1 静电场中的导体 一．填空题：

1．在带电量为Q的金属球壳内部，放入一个带电量为q的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为?q，外表面所带电量为Q?q。

2．将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的孤立导体附近，则导体内的电场强度 不变 ，导体的电势 减小 ，导体的电量 不变 （填增大、不变、减小）。

二．选择题：

3．将一个试验电荷q0(正电荷)放在带有负电荷的大导体外附近一点P处，测得它所受的力的大小为F，若考虑到电量q0不是足够小，则：( B ) (A) F/q0比P点处原先的场强数值小 (C)F/q0等于原先P点处场强的数值

(B) F/q0比P点处原先的场强数值大 (D)F/q0与P点处场强数值关系无法确定

三．计算题：

4．在半径为R的接地导体薄球壳附近与球心相距为d (d>R)的P点处，放一点电荷q，求球壳表面感应电荷q '及其在空腔内任一点的电势和场强。 解：球壳表面及其内部空间各点等电势,因为接地，电势为零。

ROdp对于球心，电势为0，故

?dq'4??0R?q4??0d?0

所以，q'??dq'??qRd???q???3(d?r)

4??0|(d?r)| 空间电场由点电荷q和感应电荷q '这两部分电荷产生的电场叠加而成：

???? 故空腔内r处感应电荷产生的电场E(r)?? 电势由点电荷q和感应电荷这两部分电荷产生的电势叠加而成：

? 故r处电场V(r)??

q???

4??0|(d?r)|5．如图，两块相同的金属板A和B，面积均为S，平行放置，两板间距远小于金属板的线度，两板分别带电qA和qB，求两板四个表面的电荷密度。 解：静电平衡:E内?0

qA σ 1 q B σ 4 (?2??3)?s?????(?E??s?E??s??0)312??2???

????????(?E?1?2?3?4?0)14内?2?2?2?2??

σ σ 2 3 A B ?qA?(?1??2)?s又??qB?(?3??4)?sq?qB??1??4?A2sq?q?2???3?AB2s6．证明静电平衡条件下，金属导体表面任意一点的电场垂直于该点的表面。

解： 如果电场不垂直于表面，则该电场有沿着表面切线方向的分量。导体中的自由电荷会在这分量的作用下沿着表面做定向移动，这破坏了平衡条件。 所以，静电平衡时候，金属表面的电场垂直于表面。

第8-2 静电场中的电介质、电位移、有电介质时的高斯定理 一．填空题：

1．两块平行带电平板间充满各向同性相对电容率为?r的均匀电介质.若两个极板带有异号等量的面密度为?的自由电荷，则介质中电位移的大小D=?，电场强度的大小E=

?。 ?0?r2．如图，在与电源连接的两块平行金属板间填入两种不同的均匀的电介质，则两种电介质中的场强 相等 ， 电位移 不相等 (填相等或不相等)。

?r1?r2二．选择题：

3．半径为R的均匀带电介质球体，电荷体密度为ρ，电容率为?，则介质内半径为r处的点的场强大小为：（ A ） (A) ρr/(3?)

(B)ρr2/(2?r)

(C) ρr2/(2R)

(D) ρ/(4r2?)

4．两块平行金属板两极板始终与一个输出电压一定的电源相连，当两极板间为真空时，

???电场强度为E0，电位移为D0，而当两极板间充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介

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