课程名称线性代数(经济数学2)_4

课程名称： 线性代数(经济数学2）

一、 计算题1

1. 解 系数行列式为

1???241???3??4 D?23??1?21??1 111??101?? ?(1??)3?(??3)?4(1??)?2(1??)(?3+?) ?(1??)3

?2(1??)2

???3? （6分） 令D?0? 得

??0? ??2或??3?

于是? 当??0? ??2或??3时? 该齐次线性方程组有非零解?

二、 计算题2

41244?12?101202c2?c2. 解 312024?110520??????c4?7c31032?14?12011700101034?110c ?12?2??????2?c3991000?2?10314c10? 1?2c3171714

3. 解

?102?(?1)4?3?14

∴ X=AB

-1

4. 证： 因为A可逆，所以|A|≠0，

且A?1?1A* A*

-1

于是有 A=|A|A

对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得

*-1n-1

|A|=||A|A| =|A||A|

又因

-1-1

|A|≠0 （∵A可逆，由定义知A可逆）

*

∴|A|≠0

*

所以A是可逆的． 因为

可知

三、 计算题3

5. 解：把

排成

的矩阵A

这是一个\下三角形\矩阵

四、 计算题4

6. 解：

时

方程组有解（无穷多解）。

得一般解： 补齐

用解向量形式表出为：

7. 解:将所给矩阵记为A? 由

2??A??E??20得矩阵A的特征值为?1??2? ?2?1? ?3?4? 对于?1??2? 解方程(A?2E)x?0? 即

?21???20?2?(1??)(??4)(??2)? ???4?20??x1??0????????23?2???x2???0?? ?0?22??x??0????3???T

得特征向量(1? 2? 2)? 单位化得p1?(, 1322T, )? 33 对于?2?1, 解方程(A?E)x?0? 即

0??x1??0??1?2???????20?2???x2???0?? ?0?2?1??x??0????3???T

得特征向量(2? 1? ?2)? 单位化得p2?(, , ?23132T)? 3 对于?3?4, 解方程(A?4E)x?0? 即

??2?20??x1??0????????2?3?2???x2???0?? ?0?2?4??x??0????3???得特征向量(2? ?2? 1)? 单位化得p3?(, ?1

T

2321T, )? 33 于是有正交阵P?(p1? p2? p3)? 使P?AP?diag(?2? 1? 4)?

五、 计算题5

8. 解：A的特征多项式为

∴特征值为 对

解齐次线性方程组

得特征向量

对 由 也只有一个

∴此A有三个特征值只有两个无关的特征向量．

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