高考递推数列题型分类归纳解析(2)

（或an?1?pan?rqn,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得：an?4n?2n 4121

(Ⅱ)将an?4n?2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)

33332

= ×(2n+1－1)(2n－1)

3

2n32n311 Tn= = ×n+1 = ×(n － n+1) nSn2 (2－1)(2－1)22－12－1

所以,

?i?1n3

Ti= 2

?(i?1n113113 － i+1) = ×(1 － i+1) <

22－122－12－12－1

i类型5 递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san) 其中s，t满足??s?t?p

st??q?解法二(特征根法)：对于由递推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程x?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x22n?1n?1时，数列?an?的通项为an?Ax1，其中A，B由a1??,a2??决定（即把?Bx2n?1n?1代入an?Ax1，得到关于A、B的方程组）；当x1?x2时，a1,a2,x1,x2和n?1,2，?Bx2n?1数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2n?1和n?1,2，代入an?(A?Bn)x1，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。

由3an?2?5an?1?2an?0，得

an?2?an?1?2(an?1?an)， 3且a2?a1?b?a。

则数列?an?1?an?是以b?a为首项，

2为公比的等比数列，于是 32an?1?an?(b?a)()n?1。把n?1,2,3,???,n代入，得

3a2?a1?b?a，

2a3?a2?(b?a)?()，

32a4?a3?(b?a)?()2，

3???

2an?an?1?(b?a)()n?2。

3把以上各式相加，得

21?()n?12223an?a1?(b?a)[1??()?????()n?2]?(b?a)。

23331?322?an?[3?3()n?1](b?a)?a?3(a?b)()n?1?3b?2a。

33

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