第五节 隐函数的求导公式(2)

第八章 多元函数微分法及应用（§5 隐函数的求导公式）

同理，方程的两边对y求偏导数，解方程组得

?u?y?xv?yux?y22，

?v?y??xu?yvx?y22．

2．由方程组F(x,y,z)?0，G(x,y,z)?0可确定两个一元函数y?y(x),z?z(x)， 的导数公式．

方程 F(x,y(x),z(x))?0，G(x,y(x),z(x))?0 两边对x求导，得

dydz??F?F?F?0Fyxyz????dxdx ???dydz?G?G?G?Gz?0xyy??dxdx??dydxdydxFy?Fz?GzFxGxFzGzdzdxdzdx??Fx，从中解出

??GxFxFzGzFzGz

dydx??GxFyGy ，

dzdx??GyFyGy．

222例5．设x?y?z?0，x?y?z?1，求

dydx,dzdx．

222 解 方程x?y?z?0，x?y?z?1两边对x求导，得

dydz??dydz1???0???1????dxdxdxdx， ? ??dydzdydz?2x?2y?y?2z?0?z??x??dxdxdx??dx因为J?1y1z?z?y?0，

?11z?z?xy?z1?1?x?x?yy?z于是

dydx??xz?y ，

dzdx?yz?y．

?z?x例6．若函数z?F(u)可微，又2u?sinu? 解 因为所以 于是

?z?x?z?x?u?x?F?(u)??u?x?y1?(t)dt，?为连续函数，求．

?x?(x?y)2?cosu?(x?y)2?cosu， 又2，

?u?x?cosu?u?x??(x?y)，

?F?(u)，(2?cosu?0)．

6

第八章 多元函数微分法及应用（§5 隐函数的求导公式）

例7．设y?f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)?0所确定的x,y函数，其中f,F都具有一阶连续偏导数，试证明

?f?F??f?F

dydx??x?t?t?x．

?f?F?F??t?y?t 解 因为

dydx??f?x??f?t(?f?x??tdy())，从中解出 ?ydx?f

dydx??x??f?t1??t?x ，

?f?t?t?y又因为t?t(x,y)由方程F(x,y,t)?0确定，所以

?F?t?x???F?t?y?x， ???F?F?y?t?t?F?f?xdydx??f?t(??x)?F??f?F?f?F于是 ?1??f?t(?t?F?y?F?t)?x?t?t?x． ?F?f?F??t?t?y?例8．设函数z?z(x,y)由方程组x?e 解 函数z?uv对x求偏导数，得

?z?x?v?u?x?u?v?xu?v，y?eu?v，z?uv确定，求

?z?z． ,?x?y，

方程x?eu?v对x求偏导数得 1?eu?v(?u?x??v?x)，

方程y?eu?v对x求偏导数得

7

第八章 多元函数微分法及应用（§5 隐函数的求导公式）

0?eu?v(?u?x??v?x)，

?v??u?u?v??e??u?v1?u?v??x?x解方程组?，得 ， ??e?x?x2?u?v???0???x?x于是

?z?x?12e?u?v(u?v)．

同理

?z?y?12e?u?v(v?u)．

思考题

1．若方程F(x,y,z)?0确定了z为x,y的函数，那么如何求二阶偏导数

?z?x?y2？

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